الحساب مقابل التسلسل الهندسي: الفرق والمقارنة

تتضمن المتتابعات الحسابية فرقًا ثابتًا بين الحدود المتتالية، بينما تتضمن المتتابعات الهندسية نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية.

الوجبات السريعة الرئيسية

1. التسلسل الحسابي هو تسلسل يتم فيه الحصول على كل مصطلح عن طريق إضافة ثابت إلى الحد السابق.
2. التسلسل الهندسي هو تسلسل يتم فيه الحصول على كل حد بضرب ثابت في الحد السابق.
3. يستخدم التسلسل الحسابي لنمذجة العلاقات الخطية ، بينما يستخدم التسلسل الهندسي لنمذجة العلاقات الأسية.

الحساب مقابل التسلسل الهندسي

التباين بين عناصر المتتابعة الحسابية يكون خطيًا، بينما التباين في عناصر المتتابعة الهندسية يكون أسيًا. تسلسل حسابي لا نهائي يتباعد؛ ومن ناحية أخرى، فإن المتتاليات الهندسية اللانهائية تتقارب أو تتباعد، اعتمادًا على الموقف.

الفرق بين حدين متتاليين في متتالية حسابية شائع. من ناحية أخرى ، يشار إلى نسبة المصطلحين المتتاليين في تسلسل هندسي على أنها النسبة القياسية.

جدول المقارنة

الميزات	تسلسل حسابي	التسلسل الهندسي
تعريف	تسلسل يتم فيه الحصول على كل حد عن طريق إضافة قيمة ثابتة (الفرق المشترك) إلى الحد السابق.	تسلسل يتم فيه الحصول على كل حد بضرب الحد السابق بقيمة ثابتة (النسبة المشتركة).
المعادلة	أ_ن = أ_1 + د(ن-1)	أ_ن = أ_1 * ص^(ن-1)
السمة الرئيسية	الفرق المستمر بين المصطلحات.	نسبة ثابتة بين المصطلحات.
سلوك	تزيد المصطلحات أو تنقص بقيمة ثابتة.	المصطلحات تزيد أو تنقص بشكل كبير.
مجموع الحدود n الأولى	S_n = n/2 * (a_1 + a_n)	S_n = a_1 * (1-ص^ن) / (1-ص)
أمثلة	2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ...	2 ، 6 ، 18 ، 54 ، 162 ، ...
التطبيقات	الحسابات المالية، النمو السكاني، الفيزياء (الأجسام الساقطة)، نظرية الموسيقى	الفائدة المركبة، الاضمحلال الأسي، النمو السكاني، الأشكال الهندسية

ما هو التسلسل الحسابي؟

التسلسل الحسابي هو تسلسل من الأرقام حيث يوجد كل حد تم الحصول عليها عن طريق إضافة قيمة ثابتة ( يسمى الفرق المشترك) إلى المصطلح السابق. إنه نوع تسلسل محدد ذو سلوك وتطبيقات يمكن التنبؤ بها في مختلف المجالات.

وفيما يلي تفصيل لخصائصه الرئيسية:

فريف:

• قائمة مرتبة من الأرقام حيث يتم الحصول على كل مصطلح إضافة نفس العدد (الفرق المشترك) إلى الحد السابق.

الصيغة:

• أ_ن = أ_1 + د(ن-1)
  • a_n: الحد النوني من المتتابعة.
  • a_1: الحد الأول من المتتابعة.
  • د: الفرق المشترك.
  • n: موضع المصطلح في التسلسل.

السمة الرئيسية:

• الفرق المشترك المستمر: ويختلف كل حد عن الحد السابق بنفس القيمة الثابتة، مما يحدد تقدم التسلسل.

السلوك:

• التقدم الخطي: الشروط زيادة أو نقصان بقيمة ثابتة (د).
• نمط يمكن التنبؤ به: ونظرًا للاختلاف الثابت، يمكن التنبؤ بسهولة بشروط التسلسل ويمكن حسابها باستخدام الصيغة.

مجموع مصطلحات n الأولى:

• S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
  • S_n: مجموع حدود n الأولى.
  • ن: عدد المصطلحات.
  • أ_1: الفصل الأول.
  • a_n: الحد التاسع.

أمثلة:

• 2، 5، 8، 11، 14، … (الفارق المشترك هو 3)
• -10، -7، -4، -1، 2، ... (الفارق المشترك هو 3)
• 3، 7، 11، 15، 19، … (الفارق المشترك هو 4)

التطبيقات:

• الاستثمار والتمويل: حساب الفائدة المركبة، ودفعات القروض، والقيم المستقبلية.
• علوم فيزيائية: تحليل الأجسام المتساقطة وحركة المقذوفات والحركة التوافقية البسيطة.
• نظرية الموسيقى: فهم الفترات والمقاييس.
• النمو السكاني: نمذجة النمو السكاني الخطي مع مرور الوقت.

ما هو التسلسل الهندسي؟

التسلسل الهندسي هو تسلسل من الأرقام حيث يوجد كل حد تم الحصول عليها عن طريق ضرب الحد السابق بقيمة ثابتة ( يسمى نسبة المشتركة). إنه نوع تسلسل محدد له خصائص وتطبيقات مميزة في العديد من المجالات.

فيما يلي تفصيل لميزاته الرئيسية:

فريف:

• قائمة مرتبة من الأرقام حيث العلاقة بين الحدود مبنية على الضرب المستمر.
• يتم الحصول على كل مصطلح بواسطة ضرب الحد السابق في عدد ثابت (النسبة المشتركة).

الصيغة:

• أ_ن = أ_1 * ص^(ن-1)
  • a_n: الحد النوني من المتتابعة.
  • a_1: الحد الأول من المتتابعة.
  • ص: النسبة المشتركة.
  • n: موضع المصطلح في التسلسل.

السمة الرئيسية:

• النسبة المشتركة الثابتة: يتقدم التسلسل عن طريق ضرب كل حد بنفس القيمة الثابتة (r)، وتحديد نموه أو اضمحلاله.

السلوك:

• النمو الأسي أو الاضمحلال: اعتمادا على قيمة النسبة المشتركة، يمكن لشروط التسلسل أن تزيد أو تنقص بشكل كبير.
• تغيير خاطف: بالمقارنة مع المتتابعات الحسابية، تشهد المتواليات الهندسية معدل تغير أسرع مع تقدم التسلسل.

التقارب أو الاختلاف:

• تتقارب المتوالية الهندسية إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من 1.
• ويختلف إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أكبر من أو تساوي 1.

مجموع مصطلحات n الأولى:

• S_n = a_1 * (1-ص^ن) / (1-ص)
  • S_n: مجموع حدود n الأولى.
  • ن: عدد المصطلحات.
  • أ_1: الفصل الأول.
  • ص: النسبة المشتركة.

أمثلة:

• 2، 6، 18، 54، 162،... (النسبة المشتركة 3)
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3، 9، -27، 81، -243، ... (النسبة المشتركة هي -3)

التطبيقات:

• الاستثمار والتمويل: حساب الفائدة المركبة ونماذج النمو الأسي والإهلاك.
• العلوم: نمذجة الاضمحلال الإشعاعي، والنمو السكاني بموارد محدودة، والأشكال الهندسية.
• نظرية الموسيقى: فهم الفترات واللوغاريتمات المتعلقة الملعب.
• التشفير: تنفيذ خوارزميات التشفير على أساس الحساب المعياري.

الاختلافات الرئيسية بين المتتالية الحسابية والهندسية

1. نمط التقدم:
   • التسلسل الحسابي: يتم الحصول على كل حد في التسلسل الحسابي عن طريق إضافة ثابت ثابت (يسمى "الفرق المشترك") إلى الحد السابق، مما يؤدي إلى تقدم خطي.
   • التسلسل الهندسي: يتم الحصول على كل حد في تسلسل هندسي عن طريق ضرب الحد السابق بثابت ثابت (يسمى "النسبة المشتركة")، مما يؤدي إلى تقدم أسي.
2. المعادلة:
   • المتتابعة الحسابية: الصيغة العامة للمتتابعة الحسابية هي an = a1 + (n – 1) * d، حيث يمثل a الحد n، وa1 هو الحد الأول، وd هو الفرق المشترك.
   • التسلسل الهندسي: الصيغة العامة للتسلسل الهندسي هي = a1 * r^(n – 1)، حيث يمثل a الحد n، وa1 هو الحد الأول، وr هي النسبة المشتركة.
3. معدل التغير:
   • المتتابعة الحسابية: معدل التغير بين الحدود المتتالية ثابت ويساوي الفرق المشترك (د).
   • التسلسل الهندسي: معدل التغير بين الحدود المتتالية ثابت ويساوي النسبة المشتركة (r).
4. مثال التقدم:
   • التسلسل الحسابي: مثال على التسلسل الحسابي هو 2، 4، 6، 8، 10، …، حيث الفرق المشترك (د) هو 2.
   • التسلسل الهندسي: مثال على التسلسل الهندسي هو 3، 6، 12، 24، 48، …، حيث النسبة المشتركة (ص) هي 2.
5. طبيعة المصطلحات:
   • التسلسل الحسابي: تمثل الحدود في التسلسل الحسابي الكميات التي تزيد أو تنقص بمقدار ثابت مع كل حد.
   • التسلسل الهندسي: تمثل الحدود في التسلسل الهندسي الكميات التي تنمو أو تتناقص بنسبة ثابتة مع كل حد.
6. مجموع المصطلحات:
   • التسلسل الحسابي: يمكن حساب مجموع الحدود n الأولى من التسلسل الحسابي باستخدام الصيغة Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d]، حيث Sn هو المجموع، n هو عدد الحدود، a1 هو الحد الأول، وd هو الفرق المشترك.
   • التسلسل الهندسي: يمكن حساب مجموع الحدود n الأولى للتسلسل الهندسي باستخدام الصيغة Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r)، حيث Sn هو المجموع، n هو الرقم من حيث، a1 هو الحد الأول وr هي النسبة المشتركة.

مراجع حسابات

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf