Vektoralgebra ist ein wesentlicher Bestandteil der Physik und Mathematik. Es vereinfacht Berechnungen und hilft bei der Analyse verschiedenster Raumkonzepte.
Ein Vektor kann unter Verwendung von zwei grundlegenden Operationen manipuliert werden. Diese Operationen sind Punkt- und Kreuzprodukte mit großen Unterschieden.
Key Take Away
- Mathematische Operation: Punktprodukt berechnet das Skalarprodukt zweier Vektoren, während das Kreuzprodukt das Vektorprodukt berechnet.
- Ergebnis: Das Skalarprodukt ergibt eine skalare Größe, während das Kreuzprodukt einen Vektor erzeugt.
- Orthogonalität: Das Skalarprodukt ist Null, wenn die Vektoren orthogonal sind, während das Kreuzprodukt zu einem Vektor führt, der senkrecht zu den ursprünglichen Vektoren steht.
Skalarprodukt vs. Kreuzprodukt
Der Unterschied zwischen dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt zweier Vektoren besteht darin, dass das Ergebnis a ist Skalar Menge, während die Entwicklung des Kreuzprodukts eine Vektorgröße ist.
Ein Punktprodukt zweier Vektoren wird auch als Skalarprodukt bezeichnet. Er ist das Produkt aus der Größe der beiden Vektoren und dem Kosinus des Winkels, den sie miteinander bilden.
Ein Kreuzprodukt zweier Vektoren wird auch als Vektorprodukt bezeichnet. Er ist das Produkt aus der Größe der beiden Vektoren und dem Sinus des Winkels, den sie miteinander bilden.
Vergleichstabelle
| Vergleichsparameter | Skalarprodukt | Kreuzprodukt |
|---|---|---|
| Allgemeine Definition | Ein Skalarprodukt ist das Produkt aus der Größe der Vektoren und dem cos des Winkels zwischen ihnen. | Ein Kreuzprodukt ist das Produkt aus der Größe der Vektoren und dem Sinus des Winkels, den sie einander gegenüberstellen. |
| Mathematische Beziehung | Das Skalarprodukt zweier Vektoren A und B wird dargestellt als: Α.Β = ΑΒ cos θ | Das Kreuzprodukt zweier Vektoren A und B ist definiert als Α × Β = ΑΒ sin θ |
| Ergebnis | Die Resultierende des Skalarprodukts der Vektoren ist eine skalare Größe. | Die Resultierende des Kreuzprodukts der Vektoren ist eine Vektorgröße. |
| Orthogonalität von Vektoren | Das Skalarprodukt ist Null, wenn die Vektoren orthogonal sind (θ = 90°). | Das Kreuzprodukt ist maximal, wenn die Vektoren orthogonal sind (θ = 90°). |
| Kommutativität | Das Skalarprodukt zweier Vektoren folgt dem Kommutativgesetz: A. B = B. A | Das Kreuzprodukt zweier Vektoren folgt nicht dem Kommutativgesetz: A × B ≠ B × A |
Was ist Punktprodukt?
Ein Skalarprodukt oder Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Beträge und des Kosinus des Winkels, den ein Vektor gegenüber dem anderen einschließt.
Es wird dargestellt als:
A·Β = |A| |B| cos θ
Das Ergebnis ist eine skalare Größe, hat also nur eine Größe, aber keine Richtung.
Wir nehmen den Kosinus des Winkels, um das Skalarprodukt zu berechnen, sodass die Vektoren in dieselbe Richtung ausgerichtet sind. Auf diese Weise erhalten wir die Projektion eines Vektors über den anderen.
Für Vektoren mit n Dimensionen ist das Skalarprodukt gegeben durch:
A·Β = Σ α¡b¡
Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:
- Es ist kommutativ.
Α·b = b·α
- Es folgt das Distributivgesetz.
Α· (b+c) = α·b + α·c
- Es folgt dem Skalarmultiplikationsgesetz.
( λα) · ( μb) = λμ ( α · b)
Was ist Kreuzprodukt?
Ein Kreuzprodukt oder das Vektorprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Beträge und des Sinus des Winkels, den sie übereinander bilden.
Es wird dargestellt als:
A×Β = |A| |B| Sünde θ
Das Ergebnis ist eine weitere Vektorgröße. Der resultierende Vektor steht senkrecht auf beiden Vektoren. Seine Richtung kann mit der Rechts-Hand-Regel bestimmt werden.
Folgende Regeln sind einzuhalten Geist / Bewusstsein bei der Berechnung des Kreuzprodukts:
- Ich × j = k
- J × k = ich
- K × I = j
I, j und k sind die Einheitsvektoren in x-, y- bzw. z-Richtung.
Das Kreuzprodukt hat folgende Eigenschaften:
- Es ist antikommutativ.
a× b = – (b × α)
- Es folgt das Distributivgesetz.
a × ( b + c) = α × b + α × c
- Es folgt dem Skalarmultiplikationsgesetz.
( λα) × ( b) = λ ( α × b)
Hauptunterschiede zwischen Punktprodukt und Kreuzprodukt
Das Punktprodukt und das Kreuzprodukt ermöglichen Berechnungen im Vektor Algebra. Sie haben unterschiedliche Anwendungen und unterschiedliche mathematische Beziehungen.
Die Hauptunterschiede zwischen den beiden sind:
- Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, ist ihr Skalarprodukt Null, während ihr Kreuzprodukt maximal ist.
- Das Skalarprodukt folgt dem Kommutativgesetz, während das Kreuzprodukt antikommutativ ist.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
- https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
Ich habe mir so viel Mühe gegeben, diesen Blogbeitrag zu schreiben, um Ihnen einen Mehrwert zu bieten. Es wird sehr hilfreich für mich sein, wenn Sie es in den sozialen Medien oder mit Ihren Freunden / Ihrer Familie teilen möchten. TEILEN IST ♥️
