Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Sequenz (mit Tabelle)

Sie alle müssen in Kinos gewesen sein, um mit Ihren Freunden oder Familienmitgliedern Filme zu sehen. Ist Ihnen beim Buchen Ihrer Tickets schon einmal aufgefallen, wie die Sitzordnung im Kino normalerweise erfolgt? Die Anzahl der Sitze in der vorherigen Reihe ist immer um eine bestimmte Zahl geringer als in der nächsten Reihe.

Diese Sitzordnung erfolgt normalerweise in einer arithmetischen Reihenfolge. Man kann also sagen, dass eine Folge, die um eine konstante Zahl abnimmt oder zunimmt, als arithmetische Folge bekannt ist. Eine geometrische Folge ist dagegen etwas ganz anderes. Die meisten von euch haben in ihrer Kindheit mit irgendwelchen Bällen gespielt.

Egal, ob Sie einen Fußball oder einen Basketball benutzen, Sie werden feststellen, dass die Höhe, in der er abprallt, jedes Mal abnimmt, wenn er den Boden berührt. Diese Abnahme der Sprunghöhe erfolgt in einer geometrischen Reihenfolge.

Somit kann man sagen, dass die geometrische Folge im Grunde eine Folge ist, in der jeder Term von einem bestimmten Term zum nächsten durch denselben Wert multipliziert oder dividiert wird. Der Wert, mit dem ein Term geteilt oder multipliziert wird, wird als gemeinsames Verhältnis bezeichnet.

Arithmetik vs geometrische Sequenz

Das Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Folge ist, dass, während bei einer arithmetischen Folge die Differenz zwischen ihren zwei aufeinanderfolgenden Termen konstant bleibt, bei einer geometrischen Folge das Verhältnis zwischen ihren zwei aufeinanderfolgenden Termen konstant bleibt.

Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen in einer arithmetischen Folge wird als gemeinsame Differenz bezeichnet. Andererseits wird das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Terme in einer geometrischen Folge als gemeinsames Verhältnis bezeichnet.

Vergleichstabelle zwischen arithmetischer und geometrischer Folge

Parameter des VergleichsArithmetische SequenzGeometrische Sequenz
DefinitionEs ist eine Liste von Zahlen, in der sich jeder neue Begriff um eine bestimmte Menge von einem anderen vorhergehenden Begriff ändert.Es ist eine Folge von Zahlen, bei der jeder neue Term durch Multiplikation mit einer ungleich Null und einer festen Zahl berechnet wird.
Berechnet vonAddition oder SubtraktionMultiplikation oder Division
Identifiziert vonEin konstanter Unterschied zwischen 2 aufeinanderfolgenden Begriffen.Ein gemeinsames Verhältnis zwischen 2 aufeinanderfolgenden Begriffen.
BildenLineare FormExponentialform

Was ist eine arithmetische Folge?

Wenn man von arithmetischer Folge oder arithmetischer Progression spricht, bezieht sich dies im Wesentlichen auf eine Folge verschiedener Zahlen, bei der die Differenz zwischen 2 aufeinanderfolgenden Zahlen immer konstant ist.

In dieser Art von Sequenz bedeutet Differenz den ersten Term, der vom zweiten Term abgezogen wird. Wenn Sie eine Folge wie 1, 4, 7, 10, 13 betrachten, handelt es sich um eine arithmetische Folge, bei der die konstante Differenz 3 beträgt.

Wie alles andere in der Mathematik hat auch eine arithmetische Folge eine Formel. Die Formel, die verwendet wird, um eine arithmetische Folge zu finden, ist a, a+d, a+2d, a+3d usw. In dieser Formel ist „a“ der erste Term und „d“ die gemeinsame Differenz zwischen 2 aufeinanderfolgenden Termen.

Es ist wichtig für Sie zu wissen, dass das Verhalten einer arithmetischen Folge stark von der gemeinsamen Differenz abhängt. Wenn die gemeinsame Differenz oder das „d“ in der Formel positiv ist, wachsen die Terme positiv. Wenn die gemeinsame Differenz jedoch negativ ist, wachsen die Terme negativ.

Was ist eine geometrische Sequenz?

Die geometrische Folge oder geometrische Progression in der Mathematik ist zufällig eine Folge verschiedener Zahlen, in der jeder neue Term nach dem vorherigen berechnet wird, indem einfach der vorherige Term mit einem gemeinsamen Verhältnis multipliziert wird. Dieses gemeinsame Verhältnis ist eine feste und von Null verschiedene Zahl. Als Beispiel ist die Folge 3, 6, 12, 24 usw. eine geometrische Folge mit dem gemeinsamen Verhältnis von 2.

Eine geometrische Folge hat auch eine eigene Formel. Die Normalform einer geometrischen Folge ist die Form von a, ar, ar², ar³, ar4 und so weiter.

Wenn Sie den n-ten Term in einer beliebigen geometrischen Folge finden müssen, lautet die zu verwendende Formel an = arn-1, wobei das gemeinsame Verhältnis „r“ und der Anfangswert „a“ angegeben werden. Es gibt bestimmte Faktoren, die Sie beachten sollten, wenn es um eine geometrische Sequenz geht. Wenn das gemeinsame Verhältnis positiv ist, sind auch die Bedingungen positiv.

Wenn das gemeinsame Verhältnis jedoch negativ ist, wechseln die Terme zwischen negativ und positiv. Wenn das gemeinsame Verhältnis größer als 1 ist, wird das Wachstum in einer exponentiellen Form in Richtung positiver oder sogar negativer Unendlichkeit erfolgen. Wenn das gemeinsame Verhältnis 1 ist, ist die Progression eine konstante Sequenz.

Hauptunterschiede zwischen arithmetischer und geometrischer Sequenz

  1. Eine arithmetische Folge ist eine Folge von Zahlen, die durch Subtrahieren oder Addieren eines festen Terms zum / vom vorherigen Term berechnet wird. Eine geometrische Folge ist jedoch eine Folge von Zahlen, bei der jede neue Zahl berechnet wird, indem die vorherige Zahl mit einer festen Zahl ungleich Null multipliziert wird.
  2. Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen in einer arithmetischen Folge ist als die gemeinsame Differenz bekannt, die durch "d" dargestellt wird, und die Zahl, durch die Terme in einer geometrischen Folge multipliziert oder geteilt werden, ist als das gemeinsame Verhältnis bekannt, das durch "r" dargestellt wird.
  3. Wenn es um eine arithmetische Folge geht, ist die Variation linear. Wenn es dagegen um eine geometrische Sequenz geht, liegt die Variation in exponentieller Form vor.
  4. In einer arithmetischen Folge können die Zahlen abhängig von der gemeinsamen Differenz entweder positiv oder negativ fortschreiten. Während es in einer geometrischen Folge keine solche Regel gibt, können die Zahlen in derselben Folge abwechselnd positiv und negativ fortschreiten.

Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur arithmetischen und geometrischen Sequenz

Warum heißt es eine geometrische Sequenz?

Es wird eine geometrische Folge genannt, weil die Zahlen durch Tauchen oder Multiplizieren mit einem ähnlichen Wert von einer Zahl zur anderen wechseln.

Die Zahl, die in jeder Phase der Reihe geteilt oder multipliziert wird, wird als gemeinsames Verhältnis bezeichnet. Eine geometrische Reihe ist eine Reihe von Figuren, die einer einzigartigen Regel eines Musters folgen.

Kann eine arithmetische Folge auch eine geometrische sein?

In der Mathematik wird eine arithmetische Reihe als die Folge definiert, in der die Varianz zwischen aufeinanderfolgenden Zahlen, die als gemeinsame Differenz bezeichnet wird, konstant ist.

Auf der anderen Seite ist die geometrische Reihe, wo das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Zahlen, bekannt als gemeinsames Verhältnis, konstant ist. Das bedeutet, dass eine Folge nicht sowohl geometrisch als auch arithmetisch sein kann.

Was ist die unendliche Formel der geometrischen Reihe?

Die unendliche geometrische Folge ist als Gesamtheit einer unendlichen geometrischen Folge definiert. Die Sequenz hat nicht die letzte Figur. Diese Art einer unendlichen Folge umfasst a1+a1r+a1r2 +a1r3+…. In diesem Fall bezieht sich a1 auf die erste Zahl, während sich r auf das gemeinsame Verhältnis bezieht.

Sie berechnen die Gesamtsumme einer endlichen geometrischen Folge. Im Fall der unendlichen geometrischen Folge werden die Terme in der Reihe größer, sobald das gemeinsame Verhältnis größer als eins ist, und wenn Sie größere Zahlen addieren, ist es unmöglich, eine endgültige Antwort zu erhalten. Die einzige Antwort wäre unendlich.

Nehmen wir an, das r (Common Ratio) liegt zwischen -1 und 1/. Sie können die Summe einer unendlichen geometrischen Folge erhalten. Das heißt, die Summe existiert für r <1.

Die Summe der unendlichen geometrischen Reihen mit -1 <r<1 is calculated by:
S = a1 / 1-r

Was ist A in einer arithmetischen Folge?

Eine arithmetische Folge bezieht sich auf die Reihe von Begriffen, so dass ein Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Teilnehmern der Reihe ein konstanter Ausdruck ist, wobei a in der arithmetischen Folge der erste Begriff ist.

Wie finden Sie den n-ten Term einer arithmetischen Folge?

Es ist bekannt, dass die Terme in einer arithmetischen Reihe um die gemeinsame Differenz (d) zunehmen. Zum Beispiel ist 2, 4, 6, 8, 10 eine arithmetische Folge und d = 2.

Die Formel, um den n-ten Term dieser arithmetischen Folge zu erhalten, lautet 2n + 1. Typischerweise ist der n-te Term einer arithmetischen Folge mit einem ersten Term und einer gemeinsamen Differenz a + (n-1) d.

Fazit

Mit Hilfe dieser ausführlichen Diskussion über die Unterschiede zwischen einer arithmetischen Folge und einer geometrischen Folge sollten Sie sich jetzt darüber im Klaren sein. Wenn Sie der Meinung sind, dass diese 2 Sequenzen keinen echten Nutzen haben, sollten Sie noch einmal darüber nachdenken. Beide haben ihren individuellen Nutzen und ihre Bedeutung im unterschiedlichen Alltag.

Arithmetische Folgen werden in verschiedenen Finanzsektoren verwendet und können sich als sehr nützlich erweisen, wenn es darum geht, Ihre Ersparnisse und persönlichen finanziellen Zuwächse zu berechnen. Eine geometrische Folge hat jedoch auch ihren gerechten Anteil an Verwendungen. Es wird verwendet, um die von verschiedenen Finanzinstituten bereitgestellten Zinssätze zu berechnen und auch das Bevölkerungswachstum eines Landes zu berechnen.

Es wird oft beobachtet, dass Schüler verwirrt sind, wenn es darum geht, zu entscheiden, ob eine gegebene Folge eine arithmetische oder eine geometrische Folge ist. Obwohl die Berechnung einer arithmetischen Folge ziemlich einfach ist, besteht die größte Herausforderung darin, eine geometrische Folge zu berechnen.

Verweise

  1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
  2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf
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