Unterschied zwischen Differential und Ableitung (mit Tabelle)

Ableitungen sind in Differentialgleichungen enthalten. Sie repräsentieren die Änderungsrate der Variablen. Wenn sich die unabhängige Variable ändert, muss die entsprechende Änderung der abhängigen Variablen notiert werden. Ableitungen konnotieren diese Änderungsrate, indem sie die Steigung der Funktion in einem Graphen untersuchen.  

Differenzial vs. Derivative

Der Unterschied zwischen einem Differential und einem Derivat besteht in der Funktion, die jeder ausführt, und den Werten, die jeder repräsentiert. Differentiale stellen die kleinsten Unterschiede in Größen dar, die wie die Fläche eines Körpers veränderlich sind. Es ermöglicht die Berechnung der Beziehung zwischen den unabhängigen und abhängigen Variablen in der Gleichung.

Vergleichstabelle zwischen Differential und Ableitung

Parameter des VergleichsDifferentialeDerivate
DefinitionDifferentiale stellen die kleinsten Unterschiede in variablen Größen dar.Ableitungen repräsentieren die Änderungsrate der Variablen in einer Differentialgleichung.
Differenz berechnetDie lineare Differenz wird berechnet.Die Steigung des Graphen an einem bestimmten Punkt wird berechnet.
BeziehungDifferentialgleichungen verwenden Ableitungen, um zu definitiven Lösungen zu kommen. Ableitungen sind in Differentialgleichungen enthalten.Derivate bedeuten einfach die Änderungsrate der abhängigen Variablen gegenüber der unabhängigen Variablen.
Funktionale KonnotationenFunktionale Konnotationen zwischen Variablen sind unbekanntFunktionale Konnotationen zwischen Variablen sind bekannt.
Vertreten durchDifferentialgleichungen werden durch viele Formeln dargestellt. Eine der am häufigsten verwendeten ist: dy/dx = f(x)  Es gibt verschiedene Ableitungsgrade mit unterschiedlichen Darstellungsformeln. Die am häufigsten verwendete formelhafte Darstellung eines Derivats ist: d/dx  

Was ist ein Differential?

Als Teilgebiet der Infinitesimalrechnung repräsentieren Differentialgleichungen die infinitesimale Differenz in bestimmten schwankenden Größen. Differentialgleichungen enthalten Ableitungen und ihre Funktionen. Differentiale messen die lineare Trajektorie der Änderung der abhängigen Variablen als Folge der Änderung der Größe der unabhängigen Variablen.

Es gibt verschiedene Arten von Differentialgleichungen mit unterschiedlichen Ordnungen und Graden der mathematischen Komplexität. Differentialgleichungen werden verwendet, um die Bewegung von Hitzewellen, die Veränderung der Bevölkerungszahl, den Zerfall von radioaktivem Material, die Bewegung von Elektrizität, die Bewegung eines Pendels usw.

Im Wesentlichen bezeichnen Differentialgleichungen die Beziehung zwischen zwei Variablen, wobei die Änderung einer Variablen durch die Änderung der anderen ausgelöst wird. Es ist das methodische Werkzeug zur Berechnung der Ableitungen von Funktionen. Es handelt sich also um eine Repräsentationsgleichung. Differentialgleichungen werden oft dargestellt als:

db/dy = f(a)

Dabei ist b die abhängige und a die unabhängige Variable.

Was ist ein Derivat?

Im einfachsten Sinne beziehen sich Derivate auf die Änderungsrate von Variablen, wenn eine Änderung der unabhängigen Variablen erfasst und eine entsprechende Änderung der abhängigen Variablen erzeugt wird. Daher hebt es die Änderung der Ausgabe aufgrund einer Änderung des Eingabewerts hervor.

Ableitungen werden am häufigsten mit Differentialgleichungen verwendet. Differenzierung ist der Prozess, der verwendet wird, um Derivate zu finden. Sie werden verwendet, um die Steigung einer Tangente zu bezeichnen. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums messen Ableitungen die Steilheit der Steigung einer Funktion.

Ähnlich wie Differentiale lassen sich auch Ableitungen in Ableitungen erster und zweiter Ordnung einteilen. Während ersteres direkt aus der Steigung der Linie vorhergesagt werden kann, berücksichtigt letzteres die Konkavität des Graphen.

Sie sind ein wichtiger Bestandteil mathematischer Berechnungen. Oft wird die Steigung dargestellt als:

d/dx

Beispielsweise ist eine Ableitung als die Änderungsrate von b in Bezug auf a definiert. Diese Beziehung wird als b = f(a) ausgedrückt, wobei b eine Funktion von a ist. Der Wert dieser Funktion erzeugt die Steigung von f(a). Ableitungen werden von wissenschaftlichen Forschern häufig in Differentialgleichungen verwendet, um die Wertänderungen von Variablen zu messen, um das Verhalten sich ändernder Systeme prägnant vorhersagen zu können.

Hauptunterschiede zwischen Differentialen und Ableitungen

  1. Der Hauptunterschied zwischen Differentialen und Ableitungen liegt in ihrer Definition, die sich dadurch auf ihre Funktionalität im mathematischen Bereich auswirkt. Ersteres ist ein Unterbereich der Infinitesimalrechnung, der den infinitesimalen Unterschied in einer schwankenden Größe bezeichnet. Ableitungen hingegen bezeichnen die Änderung des Ausgangswertes aufgrund einer entsprechenden Änderung des Eingangswertes. Es bezeichnet die Geschwindigkeit dieser Änderung.
  2. Differentialgleichungen enthalten Ableitungen oder Funktionen von Ableitungen. Während sich Ableitungen einfach auf die sofortige Änderung beziehen, die mit der Änderung der unabhängigen Variablen auftritt, die eine entsprechende Änderung des Wertes der abhängigen Variablen erzeugt.
  3. Die funktionale Konnotation zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen ist bei einer Ableitung bekannt und bei einem Differential unbekannt. Dies stellt einen weiteren wichtigen Unterschied zwischen den beiden mathematischen Konzepten dar.
  4. Auch die Formeln einer Differential- und Ableitungsgleichung unterscheiden sich deutlich. dy/dx = f(x) stellt ersteres dar, wobei y die abhängige und x die unabhängige Variable ist. Derivate werden durch d/dx dargestellt.
  5. Differentiale repräsentieren die reale Wertänderung durch eine lineare Abbildung, während Ableitungen dieselbe Änderung durch eine Steigungsabbildung darstellen. Ableitungen berechnen die Steigung einer Funktion im Graphen zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Fazit

Sowohl Differentiale als auch Ableitungen sind bahnbrechende mathematische Konzepte, die bei der Anwendung und Untersuchung komplexer mathematischer Probleme unverzichtbar sind. Beide werden oft in Verbindung miteinander verwendet und können oft fehlinterpretiert werden – wenn ihre Bedeutung oder Funktion unklar bleibt.

Die Unterschiede zwischen den beiden Konzepten sind minimal, aber gleichzeitig wichtig zu erkennen. Die beiden Konzepte unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Implementierung und Verwendung in Gleichungen. Während eine Differentialgleichung Ableitungen oder Funktionen von Ableitungen enthält, sind Ableitungen das Maß für die sofortige Änderung einer abhängigen Variablen, die durch eine entsprechende Änderung der unabhängigen Variablen ausgelöst wird.

Differentiale sind repräsentativ für die Beziehung, die zwischen zwei Variablen besteht. Sie verwenden Ableitungen, um diese Beziehung klar zu definieren und infinitesimale Änderungen zu messen.

Die Darstellung der einzelnen unterscheidet sich erheblich. Darüber hinaus bilden Differentiale die Realwertänderung durch lineare Abbildung ab, während Ableitungen die Änderungssteigung abbilden. Jedes Konzept verkörpert auch signifikante variable Formen.

Verweise

  1. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
  2. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195
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2D vs 3D