Unterschied zwischen Punktprodukt und Kreuzprodukt (mit Tabelle)

Die Vektoralgebra ist ein integraler Bestandteil der Physik und Mathematik. Es vereinfacht Berechnungen und hilft bei der Analyse unterschiedlichster Raumkonzepte. Ein Vektor ist eine physikalische Größe, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung hat. Ihr Gegenstück ist eine skalare Größe, die nur Größe, aber keine Richtung hat.

Ein Vektor kann mit zwei Grundoperationen manipuliert werden. Diese Operationen sind das Punktprodukt und das Kreuzprodukt und weisen große Unterschiede auf.

Punktprodukt gegen Kreuzprodukt

Der Unterschied zwischen dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt zweier Vektoren besteht darin, dass das Ergebnis des Skalarprodukts eine Skalargröße ist, während das Ergebnis des Kreuzprodukts eine Vektorgröße ist.

Ein Punktprodukt aus zwei Vektoren wird auch als Skalarprodukt bezeichnet. Es ist das Produkt der Größe der beiden Vektoren und des Kosinus des Winkels, den sie miteinander bilden.

Ein Kreuzprodukt zweier Vektoren wird auch als Vektorprodukt bezeichnet. Es ist das Produkt der Größe der beiden Vektoren und des Sinus des Winkels, den sie miteinander bilden.


 

Vergleichstabelle zwischen Punktprodukt und Kreuzprodukt (in Tabellenform)

Parameter des VergleichsSkalarproduktKreuzprodukt
Allgemeine DefinitionEin Punktprodukt ist das Produkt aus der Größe der Vektoren und dem cos des Winkels zwischen ihnen.Ein Kreuzprodukt ist das Produkt aus der Größe der Vektoren und dem Sinus des Winkels, den sie aufeinander legen.
Mathematische BeziehungDas Punktprodukt zweier Vektoren A und B wird dargestellt als: Α.Β = ΑΒ cos θDas Kreuzprodukt zweier Vektoren A und B wird dargestellt als: Α × Β = ΑΒ sin θ
ErgebnisDas Ergebnis des Punktprodukts der Vektoren ist eine skalare Größe.Das Ergebnis des Kreuzprodukts der Vektoren ist eine Vektorgröße.
Orthogonalität von VektorenDas Punktprodukt ist Null, wenn die Vektoren orthogonal sind (θ = 90 °).Das Kreuzprodukt ist maximal, wenn die Vektoren orthogonal sind (θ = 90 °).
KommutativitätDas Punktprodukt zweier Vektoren folgt dem Kommutativgesetz: A. B = B. A.Das Kreuzprodukt zweier Vektoren folgt nicht dem Kommutativgesetz: A × B ≠ B × A.

 

Was ist ein Dot-Produkt?

Ein Skalarprodukt oder Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Größen und des Kosinus des Winkels, der von einem Vektor über den anderen gelegt wird. Es wird auch inneres Produkt oder Projektionsprodukt genannt.

Es wird dargestellt als:

A · Β = | A | | B | cos θ

Das Ergebnis ist eine skalare Größe, daher hat sie nur eine Größe, aber keine Richtung.

Wir nehmen den Kosinus des Winkels für die Berechnung des Punktprodukts, so dass die Vektoren in derselben Richtung ausgerichtet sind. Auf diese Weise erhalten wir die Projektion eines Vektors über den anderen.

Für Vektoren mit n Dimensionen ist das Punktprodukt gegeben durch:

A · Β = Σ α¡b¡

Das Punktprodukt hat folgende Eigenschaften:

  • Es ist kommutativ.

Α · b = b · α

  • Es folgt dem Verteilungsgesetz.

(· (B + c) = α · b + α · c

  • Es folgt dem Skalarmultiplikationsgesetz.

(λα) · (μb) = λμ (α · b)

Das Punktprodukt hat folgende Anwendungen:

  • Es wird verwendet, um den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene zu ermitteln.

Es wird verwendet, um die Projektion eines Punktes auf der Ebene zu finden, wenn seine Koordinaten bekannt sind.

 

Was ist Cross Product?

Ein Kreuzprodukt oder Vektorprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Größen und des Sinus des Winkels, der übereinander liegt. Es wird auch als gerichtetes Flächenprodukt bezeichnet.

Es wird dargestellt als:

A × Β = | A | | B | sin θ

Das Ergebnis ist eine andere Vektorgröße. Der resultierende Vektor ist senkrecht zu beiden Vektoren. Seine Richtung kann mit der rechten Regel bestimmt werden.

Bei der Berechnung des Kreuzprodukts sind folgende Regeln zu beachten:

  • I × j = k
  • J × k = i
  • K × I = j

Wobei I, j und k die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung sind.

Das Kreuzprodukt hat folgende Eigenschaften:

  • Es ist antikommutativ.

a × b = - (b × α)

  • Es folgt dem Verteilungsgesetz.

a × (b + c) = α × b + α × c

  • Es folgt dem Skalarmultiplikationsgesetz.

(λα) × (b) = λ (α × b)

Das Kreuzprodukt hat folgende Anwendungen:

  1. Es wird verwendet, um den Abstand zwischen zwei Schräglinien zu ermitteln.
  2. Es wird verwendet, um zu bestimmen, ob zwei Vektoren koplanar sind.

Hauptunterschiede zwischen Punktprodukt und Kreuzprodukt

Das Punktprodukt und das Kreuzprodukt ermöglichen Berechnungen in der Vektoralgebra. Sie haben unterschiedliche Anwendungen und unterschiedliche mathematische Beziehungen.

Die Hauptunterschiede zwischen den beiden sind:

  1. Das Punktprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Größen und des Kosinus des Winkels, den sie aufeinander legen. Andererseits ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren das Produkt ihrer Größen und des Sinus des Winkels zwischen ihnen.
  2. Die Beziehung für das Punktprodukt ist: α • b = | a | | b | cos θ. Andererseits ist die Beziehung für das Kreuzprodukt: α × b = | α | | b | sin θ
  3. Das Ergebnis des Punktprodukts zweier Vektoren ist eine skalare Größe, während das Ergebnis des Kreuzprodukts zweier Vektoren eine Vektorgröße ist.
  4. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, ist ihr Punktprodukt Null, während ihr Kreuzprodukt maximal ist.
  5. Das Punktprodukt folgt dem kommutativen Gesetz, während das Kreuzprodukt antikommutativ ist.

 

Fazit

Vektoralgebra hat einen großen Nutzen in verschiedenen mathematischen Fächern. Seine Verwendung ist in der Geometrie und Elektromagnetik sehr verbreitet. Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt von Vektoren sind die grundlegenden Operationen in der Vektoralgebra. Sie haben mehrere Anwendungen. Das Skalarprodukt berechnet eine Skalargröße. Diese Größe ist im Allgemeinen Entfernung oder Länge.

Das Kreuzprodukt berechnet eine Vektorgröße. Wir erhalten also einen anderen Vektor im Raum. Wir können Operationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation an Vektoren durchführen. Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind gängige Vektoren in der Physik.

Das Konzept des Vektors hat sich vor über 200 Jahren entwickelt. Seitdem ist es dank der Beiträge vieler Mathematiker und Wissenschaftler floriert.


Verweise

  1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
  2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
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2D vs 3D