Calculadora de ecuaciones cúbicas

Instrucciones:

• Introducir coeficientes a, b, cy d para la ecuación cúbica.
• Haga clic en "Calcular" para encontrar las raíces de la ecuación cúbica.
• Los resultados mostrarán las raíces junto con cálculos y explicaciones detalladas.
• Su historial de cálculo se mostrará a continuación.
• Haga clic en "Borrar resultados" para restablecer la calculadora.
• Haga clic en "Copiar resultados" para copiar los resultados al portapapeles.

x^3 +

x^2 +

x +

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Cálculo detallado y explicación:

Historial de cálculo

Calculadora de ecuaciones cúbicas es una herramienta que ayuda a resolver ecuaciones cúbicas. Una ecuación cúbica es una ecuación algebraica con un grado de 3. Esto significa que el exponente más alto de la ecuación es 3. Escrita en forma estándar, donde a ≠ 0, una ecuación cúbica se ve así: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Es posible que falten los términos b, c o d en la ecuación, o que el término a sea 1. Tienes una ecuación cúbica siempre que haya un valor ax^3.

Conceptos

Los siguientes son algunos de los conceptos clave que subyacen a las ecuaciones cúbicas:

Raíces

Las soluciones de una ecuación cúbica se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a, b, cyd de la ecuación cúbica son números reales, entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar de la siguiente manera:

• Algebraicamente: más precisamente, se pueden expresar mediante una fórmula cúbica que incluye los cuatro coeficientes, las cuatro operaciones aritméticas básicas, las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Esto también es cierto para las ecuaciones cuadráticas (de segundo grado) y cuárticas (de cuarto grado), pero no para las ecuaciones de grado superior, según el teorema de Abel-Ruffini.
• Trigonométricamente: las aproximaciones numéricas de las raíces se pueden encontrar utilizando algoritmos de búsqueda de raíces como el método de Newton.

Las fórmulas de Vieta

Las fórmulas de Vieta muestran la relación entre los coeficientes de un polinomio y las sumas y productos de sus raíces. Si conoces una raíz, puedes hacer sustituciones y descubrir las demás. Para una ecuación cúbica ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, sean p, q y r las 3 raíces de la ecuación. Entonces: (x − p)(x − q)(x − r) = 0, al igual que ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Las fórmulas de Vieta usan estas equivalencias para mostrar cómo se relacionan las raíces con los coeficientes de la ecuación cúbica. Las equivalencias se enumeran a continuación, junto con la prueba.

Equivalentes de Vieta	Expresión raíz	Equivale
p+q+r	-licenciado en Letras
pq+qr+rp	California
PQR	-d/a

Beneficios

Calculadora de ecuaciones cúbicas es una herramienta útil para resolver ecuaciones cúbicas. Puede ahorrar tiempo y esfuerzo en comparación con resolver la ecuación a mano. La calculadora puede encontrar todas las soluciones para x, incluidas las soluciones complejas. Hay una o tres posibles soluciones de raíces reales para x para cualquier ecuación cúbica. Es posible que solo tenga dos soluciones distintas como en el caso x = 1, x = 5, x = 5, sin embargo, todavía hay tres raíces reales.

Datos interesantes

• Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios.
• El problema de duplicar el cubo implica la ecuación cúbica más simple y antigua estudiada, y una para la cual los antiguos egipcios no creían que existiera una solución.
• En el siglo V a. C., Hipócrates redujo este problema a encontrar dos proporcionales medias entre una línea y otra del doble de su longitud, pero no pudo resolverlo con una construcción con compás y regla. Ahora se sabe que esta tarea es imposible.

Referencias

• Arquímedes: Sobre la esfera y el cilindro, Libro II, Proposición II
• Isaac Newton: Principia Mathematica, Libro I, Proposición X
• Leonhard Euler: Introductio in Analysin Infinitorum, Volumen I, Capítulo 9
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, Capítulo 11

Última actualización: 25 de noviembre de 2023