Diferencia entre producto escalar y producto cruzado (con tabla)

El álgebra vectorial es una parte integral de la física y las matemáticas. Simplifica los cálculos y ayuda en el análisis de una amplia variedad de conceptos espaciales. Un vector es una cantidad física que tiene una magnitud y una dirección. Su contraparte es una cantidad escalar que solo tiene magnitud pero no dirección.

Un vector se puede manipular mediante dos operaciones básicas. Estas operaciones son el producto escalar y el producto cruzado, y tienen grandes diferencias.

Producto escalar vs producto cruzado

La diferencia entre el producto escalar y el producto cruzado de dos vectores es que el resultado del producto escalar es una cantidad escalar, mientras que el resultado del producto cruzado es una cantidad vectorial.

Un producto escalar de dos vectores también se denomina producto escalar. Es el producto de la magnitud de los dos vectores y el coseno del ángulo que forman entre sí.

Un producto cruzado de dos vectores también se denomina producto vectorial. Es el producto de la magnitud de los dos vectores y el seno del ángulo que forman entre sí.


 

Tabla de comparación entre producto escalar y producto cruzado (en forma de tabla)

Parámetro de comparaciónProducto escalarProducto cruzado
Definición generalUn producto escalar es el producto de la magnitud de los vectores y el cos del ángulo entre ellos.Un producto cruzado es el producto de la magnitud de los vectores y el seno del ángulo que subtienden entre sí.
Relación matemáticaEl producto escalar de dos vectores A y B se representa como: Α.Β = ΑΒ cos θEl producto cruzado de dos vectores A y B se representa como: Α × Β = ΑΒ sin θ
ResultanteLa resultante del producto escalar de los vectores es una cantidad escalar.La resultante del producto cruzado de los vectores es una cantidad vectorial.
Ortogonalidad de los vectoresEl producto escalar es cero cuando los vectores son ortogonales (θ = 90 °).El producto cruzado es máximo cuando los vectores son ortogonales (θ = 90 °).
ConmutatividadEl producto escalar de dos vectores sigue la ley conmutativa: A. B = B. AEl producto cruzado de dos vectores no sigue la ley conmutativa: A × B ≠ B × A

 

¿Qué es el producto punto?

Un producto escalar o producto escalar de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo subtendido por un vector sobre el otro. También se le llama producto interno o producto de proyección.

Se representa como:

A · Β = | A | | B | porque θ

El resultado es una cantidad escalar, por lo que solo tiene magnitud pero no dirección.

Tomamos el coseno del ángulo para el cálculo del producto escalar para que los vectores se alineen en la misma dirección. De esta forma obtenemos la proyección de un vector sobre otro.

Para vectores con n dimensiones, el producto escalar viene dado por:

A · Β = Σ α¡b¡

El producto escalar tiene las siguientes propiedades:

  • Es conmutativo.

Α · b = b · α

  • Sigue la ley distributiva.

Α · (b + c) = α · b + α · c

  • Sigue la ley de multiplicación escalar.

(λα) · (μb) = λμ (α · b)

El producto escalar tiene las siguientes aplicaciones:

  • Se usa para encontrar la distancia entre dos puntos en un plano.

Se utiliza para encontrar la proyección de un punto en el plano cuando se conocen sus coordenadas.

 

¿Qué es el producto cruzado?

Un producto cruzado o producto vectorial de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el seno del ángulo subtendido por uno sobre el otro. También se le llama producto de área dirigida.

Se representa como:

A × Β = | A | | B | pecado θ

El resultado es otra cantidad vectorial. El vector resultante es perpendicular a ambos vectores. Su dirección se puede determinar utilizando la regla de la mano derecha.

Se deben tener en cuenta las siguientes reglas al calcular el producto cruzado:

  • Yo × j = k
  • J × k = yo
  • K × I = j

Donde I, j y k son los vectores unitarios en las direcciones x, y y z respectivamente.

El producto cruzado tiene las siguientes propiedades:

  • Es anti-conmutativo.

a × b = - (b × α)

  • Sigue la ley distributiva.

a × (b + c) = α × b + α × c

  • Sigue la ley de multiplicación escalar.

(λα) × (b) = λ (α × b)

El producto cruzado tiene las siguientes aplicaciones:

  1. Se utiliza para encontrar la distancia entre dos líneas oblicuas.
  2. Se utiliza para determinar si dos vectores son coplanares.

Principales diferencias entre producto escalar y producto cruzado

El producto escalar y el producto cruzado permiten cálculos en álgebra vectorial. Tienen diferentes aplicaciones y diferentes relaciones matemáticas.

Las principales diferencias entre los dos son:

  1. El producto escalar de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo que subtienden entre sí. Por otro lado, el producto cruzado de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el seno del ángulo entre ellos.
  2. La relación para el producto escalar es: α • b = | a | | b | cos θ. Por otro lado, la relación para el producto cruzado es: α × b = | α | | b | pecado θ
  3. El resultado del producto escalar de dos vectores es una cantidad escalar, mientras que el resultado del producto cruzado de dos vectores es una cantidad vectorial.
  4. Si dos vectores son ortogonales, entonces su producto escalar es cero, mientras que su producto cruzado es máximo.
  5. El producto escalar sigue la ley conmutativa, mientras que el producto cruzado es anti-conmutativo.

 

Conclusión

El álgebra vectorial tiene una gran utilidad en diversas materias matemáticas. Su uso es muy común en geometría y electromagnética. El producto escalar y el producto cruzado de los vectores son las operaciones básicas del álgebra vectorial. Tienen varias aplicaciones. El producto escalar calcula una cantidad escalar. Esta cantidad es generalmente la distancia o la longitud.

El producto cruzado calcula una cantidad vectorial. Entonces, obtenemos otro vector en el espacio. Podemos realizar operaciones como sumas, restas y multiplicaciones en vectores. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración son vectores comunes en Física.

El concepto de vector evolucionó hace más de 200 años. Desde entonces, ha florecido gracias a las contribuciones de muchos matemáticos y científicos.


Referencias

  1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
  2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
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