El álgebra vectorial es una parte integral de la Física y las Matemáticas. Simplifica los cálculos y ayuda a analizar una amplia variedad de conceptos espaciales.
Un vector se puede manipular mediante dos operaciones básicas. Estas operaciones son los productos punto y cruz, con grandes diferencias.
Puntos clave
- Operación matemática: el producto punto calcula el producto escalar de dos vectores, mientras que el producto vectorial calcula el producto vectorial.
- Resultado: el producto punto produce una cantidad escalar, mientras que el producto cruzado produce un vector.
- Ortogonalidad: el producto punto es cero cuando los vectores son ortogonales, mientras que el producto vectorial da como resultado un vector perpendicular a los vectores originales.
Producto Punto vs Producto Cruzado
La diferencia entre el producto punto y el producto cruz de dos vectores es que el resultado es un escalar cantidad, mientras que el desarrollo del producto vectorial es una cantidad vectorial.
Un producto escalar de dos vectores también se llama producto escalar. Es el producto de la magnitud de los dos vectores y el coseno del ángulo que forman entre sí.
Un producto cruzado de dos vectores también se llama producto vectorial. Es el producto de la magnitud de los dos vectores y el seno del ángulo que forman entre sí.
Tabla de comparación
| Parámetro de comparación | Producto de punto | Producto cruzado |
|---|---|---|
| Definición general | Un producto punto es el producto de la magnitud de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos. | Un producto vectorial es el producto de la magnitud de los vectores y el seno del ángulo que subtienden entre sí. |
| Relación Matemática | El producto punto de dos vectores A y B se representa como: Α.Β = ΑΒ cos θ | El producto vectorial de dos vectores A y B se define como Α × Β = ΑΒ sen θ |
| Resultante | La resultante del producto escalar de los vectores es una cantidad escalar. | La resultante del producto vectorial de los vectores es una cantidad vectorial. |
| Ortogonalidad de vectores | El producto escalar es cero cuando los vectores son ortogonales ( θ = 90°). | El producto vectorial es máximo cuando los vectores son ortogonales ( θ = 90°). |
| conmutatividad | El producto escalar de dos vectores sigue la ley conmutativa: A. B = B. A | El producto vectorial de dos vectores no sigue la ley conmutativa: A × B ≠ B × A |
¿Qué es el producto punto?
Un producto punto o producto escalar de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo subtendido por un vector sobre el otro.
Se representa como:
A·Β = |A| |B| porque θ
El resultado es una cantidad escalar, por lo que solo tiene magnitud pero no dirección.
Tomamos el coseno del ángulo para calcular el producto punto para que los vectores se alineen en la misma dirección. De esta manera, obtenemos la proyección de un vector sobre el otro.
Para vectores con n dimensiones, el producto escalar viene dado por:
A·Β = Σ α¡b¡
El producto escalar tiene las siguientes propiedades:
- es conmutativo.
Α · segundo = segundo · α
- Sigue la ley distributiva.
Α· (b+c) = α·b + α·c
- Sigue la ley de la multiplicación escalar.
( λα) · ( μb) = λμ ( α· b)
¿Qué es el producto cruzado?
Un producto vectorial o el producto vectorial de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el seno del ángulo subtendido por uno sobre el otro.
Se representa como:
A×Β = |A| |B| sen θ
El resultado es otra cantidad vectorial. El vector resultante es perpendicular a ambos vectores. Su dirección se puede determinar usando la regla de la mano derecha.
Las siguientes reglas deben ser mantenidas en mente al calcular el producto cruzado:
- yo × j = k
- J × k = yo
- k × yo = j
I, j y k son los vectores unitarios en las direcciones x, y y z, respectivamente.
El producto cruzado tiene las siguientes propiedades:
- Es anticonmutativo.
a× b = – (b × α)
- Sigue la ley distributiva.
a × (b+c) = α × b + α × c
- Sigue la ley de la multiplicación escalar.
( λα) × ( segundo ) = λ ( α × segundo )
Principales diferencias entre el producto punto y el producto cruzado
El producto escalar y el producto cruz permiten cálculos en vectores álgebra. Tienen diferentes aplicaciones y diferentes relaciones matemáticas.
Las principales diferencias entre los dos son:
- Si dos vectores son ortogonales, su producto escalar es cero, mientras que su producto vectorial es máximo.
- El producto escalar sigue la ley conmutativa, mientras que el producto vectorial es anticonmutativo.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
- https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
Última actualización: 11 de junio de 2023
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Emma Smith tiene una maestría en inglés de Irvine Valley College. Ha sido periodista desde 2002, escribiendo artículos sobre el idioma inglés, deportes y derecho. Lee más sobre mí en ella página de biografía.
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