Calculatrice d'équation cubique

Étapes :

• Saisir les coefficients a, b, cet d pour l'équation cubique.
• Cliquez sur "Calculer" pour trouver les racines de l'équation cubique.
• Les résultats afficheront les racines ainsi que des calculs et des explications détaillés.
• Votre historique de calcul sera affiché ci-dessous.
• Cliquez sur "Effacer les résultats" pour réinitialiser la calculatrice.
• Cliquez sur "Copier les résultats" pour copier les résultats dans le presse-papiers.

x^3 +

x^2 +

x +

Calculer Effacer les résultats Copier les résultats

Calcul détaillé et explication :

Historique des calculs

Le calculateur d'équations cubiques est un outil qui aide à résoudre des équations cubiques. Une équation cubique est une équation algébrique de degré 3. Cela signifie que l'exposant le plus élevé de l'équation est 3. Écrite sous forme standard, où a ≠ 0, une équation cubique ressemble à ceci : ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Les termes b, c ou d peuvent être absents de l'équation, ou le terme a peut être 1. Vous avez une équation cubique tant qu'il y a une valeur ax^3.

Concepts

Voici quelques-uns des concepts clés qui sous-tendent les équations cubiques :

Racines

Les solutions d'une équation cubique sont appelées racines de la fonction cubique définie par le membre gauche de l'équation. Si tous les coefficients a, b, c et d de l’équation cubique sont des nombres réels, alors elle a au moins une racine réelle (cela est vrai pour toutes les fonctions polynomiales de degré impair). Toutes les racines de l’équation cubique peuvent être trouvées par les moyens suivants :

• Algébriquement : Plus précisément, ils peuvent être exprimés par une formule cubique faisant intervenir les quatre coefficients, les quatre opérations arithmétiques de base, les racines carrées et les racines cubiques. Cela est également vrai pour les équations quadratiques (deuxième degré) et quartiques (quatrième degré), mais pas pour les équations de degré supérieur, par le théorème d'Abel-Ruffini.
• Trigonométriquement : des approximations numériques des racines peuvent être trouvées à l'aide d'algorithmes de recherche de racines tels que la méthode de Newton.

Les formules de Vieta

Les formules de Vieta montrent la relation entre les coefficients d'un polynôme et les sommes et produits de ses racines. Si vous connaissez une racine, vous pouvez effectuer des substitutions et découvrir les autres. Pour une équation cubique ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, soit p, q et r les 3 racines de l'équation. Donc : (x − p)(x − q)(x − r) = 0, tout comme ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Les formules de Vieta utilisent ces équivalences pour montrer comment les racines sont liées aux coefficients de l'équation cubique. Les équivalences sont énumérées ci-dessous, accompagnées de la preuve.

Les équivalents de Vieta	Expression racine	Équivaut à
p + q + r	-b/a
pq + qr + rp	Californie
pqr	-d/a

Avantages

Le calculateur d'équations cubiques est un outil utile pour résoudre des équations cubiques. Cela peut permettre d'économiser du temps et des efforts par rapport à la résolution manuelle de l'équation. La calculatrice peut trouver toutes les solutions de x, y compris les solutions complexes. Il existe une ou trois solutions possibles de racine réelle pour x pour toute équation cubique. Vous ne pouvez avoir que deux solutions distinctes comme dans le cas x = 1, x = 5, x = 5, cependant, il existe toujours trois vraies racines.

Faits intéressants

• Les équations cubiques étaient connues des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens.
• Le problème du doublement du cube implique l’équation cubique étudiée la plus simple et la plus ancienne, et pour laquelle les anciens Égyptiens ne croyaient pas à l’existence d’une solution.
• Au 5ème siècle avant JC, Hippocrate a réduit ce problème à trouver deux moyennes proportionnelles entre une ligne et une autre deux fois sa longueur, mais n'a pas pu résoudre ce problème avec une construction au compas et à la règle. On sait désormais que cette tâche est impossible.

Bibliographie

• Archimède : De la sphère et du cylindre, Livre II, Proposition II
• Isaac Newton : Principia Mathematica, Livre I, Proposition X
• Leonhard Euler : Introduction à Analysin Infinitorum, Volume I, Chapitre 9
• Carl Friedrich Gauss : Disquisitiones Generales autour des Superficies Curvas, Chapitre 11

Dernière mise à jour : 25 novembre 2023