Les séquences arithmétiques impliquent une différence constante entre termes consécutifs, tandis que les séquences géométriques impliquent un rapport constant entre termes consécutifs.
Faits marquants
- Une suite arithmétique est une suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au terme précédent.
- Une suite géométrique est une suite où chaque terme est obtenu en multipliant une constante par le terme précédent.
- La séquence arithmétique est utilisée pour modéliser des relations linéaires, tandis que la séquence géométrique est utilisée pour modéliser des relations exponentielles.
Séquence arithmétique vs géométrique
La variation entre les membres d'une séquence arithmétique est linéaire, tandis que la variation des éléments de la séquence géométrique est exponentielle. Une séquence arithmétique infinie diverge ; d’autre part, des séquences géométriques infinies convergent ou divergent selon les situations.
La différence entre deux termes consécutifs dans une suite arithmétique est commune. D'autre part, le rapport de deux termes consécutifs dans une séquence géométrique est appelé rapport standard.
Tableau de comparaison
| Fonctionnalité | Séquence arithmétique | Séquence géométrique |
|---|---|---|
| Définition | Une séquence où chaque terme est obtenu en ajoutant une valeur constante (différence commune) au terme précédent. | Une séquence où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une valeur constante (raison). |
| Laits en poudre | a_n = a_1 + d(n-1) | a_n = a_1 * r^(n-1) |
| Caractéristique clé | Différence constante entre les termes. | Rapport constant entre les termes. |
| Comportement | Les termes augmentent ou diminuent d'une valeur constante. | Les termes augmentent ou diminuent de façon exponentielle. |
| Somme des n premiers termes | S_n = n/2 * (a_1 + a_n) | S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r) |
| Exemples | 2, 5, 8, 11, 14,… | 2, 6, 18, 54, 162,… |
| Applications | Calculs financiers, croissance démographique, physique (chute d'objets), théorie musicale | Intérêts composés, décroissance exponentielle, croissance démographique, formes géométriques |
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chaque terme est obtenu en ajoutant une valeur constante (appelé le différence commune) au terme précédent. Il s'agit d'un type de séquence spécifique avec un comportement prévisible et des applications dans divers domaines.
Voici un aperçu de ses principales caractéristiques :
Définition:
- Une liste ordonnée de nombres où chaque terme est obtenu par ajouter le même numéro (différence commune) au terme précédent.
Formule:
- a_n = a_1 + d(n-1)
- a_n : nième terme de la séquence.
- a_1 : premier terme de la suite.
- d : différence commune.
- n : position du terme dans la séquence.
Caractéristique clé :
- Différence commune constante : Chaque terme diffère du terme précédent par la même valeur constante, déterminant la progression de la séquence.
Comportement:
- Progression linéaire : Les termes augmenter ou diminuer par une valeur constante (d).
- Modèle prévisible : En raison de la différence constante, les termes de la séquence sont facilement prévisibles et peuvent être calculés à l'aide de la formule.
Somme des n premiers termes :
- S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
- S_n : somme des n premiers termes.
- n : nombre de termes.
- a_1 : premier terme.
- a_n : nième terme.
Exemples :
- 2, 5, 8, 11, 14,… (différence commune de 3)
- -10, -7, -4, -1, 2, … (différence commune de 3)
- 3, 7, 11, 15, 19,… (différence commune de 4)
Applications :
- Finances: Calcul des intérêts composés, des remboursements de prêts et des valeurs futures.
- La physique: Analyser la chute d'objets, le mouvement du projectile et le mouvement harmonique simple.
- Théorie de la musique: Comprendre les intervalles et les échelles.
- Croissance démographique : Modélisation de la croissance démographique linéaire au fil du temps.
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une suite de nombres dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une valeur constante (appelé le rapport commun). Il s'agit d'un type de séquence spécifique présentant des caractéristiques distinctives et des applications dans de nombreux domaines.
Voici un aperçu de ses principales fonctionnalités :
Définition:
- Une liste ordonnée de nombres où le la relation entre les termes est basée sur une multiplication constante.
- Chaque terme est obtenu par multiplier le terme précédent par un nombre fixe (rapport commun).
Formule:
- a_n = a_1 * r^(n-1)
- a_n : nième terme de la séquence.
- a_1 : premier terme de la suite.
- r : raison commune.
- n : position du terme dans la séquence.
Caractéristique clé :
- Raison constante : La séquence progresse en multipliant chaque terme par la même valeur constante (r), déterminant sa croissance ou sa décroissance.
Comportement:
- Croissance ou décroissance exponentielle : Selon la valeur de la raison, les termes de la séquence peuvent augmenter ou diminuer de façon exponentielle.
- Changement rapide : Par rapport aux séquences arithmétiques, les séquences géométriques connaissent un taux de changement plus rapide à mesure que la séquence progresse.
Convergence ou divergence :
- Une suite géométrique converge si la valeur absolue de la raison est inférieure à 1.
- Il diverge si la valeur absolue de la raison est supérieure ou égale à 1.
Somme des n premiers termes :
- S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
- S_n : somme des n premiers termes.
- n : nombre de termes.
- a_1 : premier terme.
- r : raison commune.
Exemples :
- 2, 6, 18, 54, 162, … (rapport commun de 3)
- 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
- -3, 9, -27, 81, -243, … (rapport commun de -3)
Applications :
- Finances: Calcul des intérêts composés, des modèles de croissance exponentielle et de la dépréciation.
- Science: Modélisation de la désintégration radioactive, de la croissance démographique avec des ressources limitées et des formes géométriques.
- Théorie de la musique: Comprendre les intervalles et les logarithmes liés à la hauteur.
- Cryptographie: Implémentation d'algorithmes de chiffrement basés sur l'arithmétique modulaire.
Différences principales entre la séquence arithmétique et géométrique
- Modèle de progression:
- Séquence arithmétique : Chaque terme d'une séquence arithmétique est obtenu en ajoutant une constante fixe (appelée « différence commune ») au terme précédent, ce qui entraîne une progression linéaire.
- Séquence géométrique : Chaque terme d'une séquence géométrique est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante fixe (appelée « rapport commun »), ce qui entraîne une progression exponentielle.
- Laits en poudre:
- Séquence arithmétique : La formule générale d'une séquence arithmétique est an = a1 + (n – 1) * d, où an représente le nième terme, a1 est le premier terme et d est la différence commune.
- Séquence géométrique : La formule générale d'une séquence géométrique est an = a1 * r^(n – 1), où an représente le nième terme, a1 est le premier terme et r est la raison.
- Taux de Change:
- Séquence arithmétique : Le taux de variation entre des termes consécutifs est constant et égal à la différence commune (d).
- Séquence géométrique : Le taux de changement entre des termes consécutifs est constant et égal à la raison (r).
- Exemple de progression:
- Séquence arithmétique : Un exemple de séquence arithmétique est 2, 4, 6, 8, 10,…, où la différence commune (d) est 2.
- Séquence géométrique : Un exemple de séquence géométrique est 3, 6, 12, 24, 48,…, où la raison (r) est 2.
- Nature des termes:
- Séquence arithmétique : les termes d'une séquence arithmétique représentent des quantités qui augmentent ou diminuent d'un montant fixe à chaque terme.
- Séquence géométrique : les termes d'une séquence géométrique représentent des quantités qui augmentent ou diminuent dans une proportion fixe avec chaque terme.
- Somme des termes:
- Séquence arithmétique : La somme des n premiers termes d'une séquence arithmétique peut être calculée à l'aide de la formule Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d], où Sn est la somme, n est le nombre de termes, a1 est le premier terme et d est la différence commune.
- Séquence géométrique : la somme des n premiers termes d'une séquence géométrique peut être calculée à l'aide de la formule Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r), où Sn est la somme, n est le nombre des termes, a1 est le premier terme et r est la raison.
Dernière mise à jour : 11 décembre 2023
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Emma Smith est titulaire d'une maîtrise en anglais du Irvine Valley College. Elle est journaliste depuis 2002, écrivant des articles sur la langue anglaise, le sport et le droit. En savoir plus sur moi sur elle page bio.
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