Différence entre différentiel et dérivé (avec tableau)

Les dérivés sont contenus dans des équations différentielles. Ils représentent le taux de variation des variables. Lorsque la variable indépendante change, le changement correspondant produit dans la variable dépendante doit être noté. Les dérivés connotent ce taux de changement en étudiant la pente de la fonction sur un graphique.  

Différentiel vs dérivé

La différence entre un différentiel et une dérivée réside dans la fonction que chacun remplit et les valeurs que chacun représente. Les différentiels représentent la plus petite des différences de quantités qui sont variables comme la surface d'un corps. Il permet le calcul de la relation entre les variables indépendantes et dépendantes dans l'équation.

Tableau de comparaison entre Différentiel et dérivé

Paramètres de comparaisonDifférentielsDérivés
DéfinitionLes différentiels représentent la plus petite des différences de quantités qui sont variables.Les dérivés représentent le taux de variation des variables dans une équation différentielle.
Différence calculéeLa différence linéaire est calculée.La pente du graphique en un point particulier est calculée.
RelationLes équations différentielles utilisent des dérivées pour parvenir à des solutions définitives. Les dérivés sont contenus dans des équations différentielles.Les dérivés connotent simplement le taux de variation de la variable dépendante par rapport à la variable indépendante.
Connotations fonctionnellesLes connotations fonctionnelles entre les variables sont inconnuesLes connotations fonctionnelles entre les variables sont connues.
Représenté parLes équations différentielles sont représentées par de nombreuses formules. L'un des plus couramment utilisés est : dy/dx = f(x)  Il existe différents degrés de dérivés avec diverses formules de représentation. La représentation formule la plus couramment utilisée d'un dérivé est : /dx  

Qu'est-ce qu'un différentiel ?

En tant que sous-domaine du calcul, les équations différentielles représentent la différence infinitésimale de certaines quantités fluctuantes. Les équations différentielles contiennent des dérivées et leurs fonctions. Les différentiels mesurent la trajectoire linéaire du changement de la variable dépendante en conséquence de la modification de la quantité de la variable indépendante.

Il existe plusieurs types d'équations différentielles avec différents ordres et degrés de complexité mathématique. Des équations différentielles sont utilisées pour décrire le mouvement des vagues de chaleur, l'évolution de la population, la désintégration des matières radioactives, le mouvement de l'électricité, le mouvement d'un pendule, etc.

Essentiellement, les équations différentielles connotent la relation entre deux variables, où la modification d'une variable est déclenchée par le changement produit dans l'autre. C'est l'outil méthodologique utilisé pour calculer les dérivées des fonctions. C'est donc une équation de représentation. Les équations différentielles sont souvent représentées par :

db/dy = f(a)

Où b est la variable dépendante et a la variable indépendante.

Qu'est-ce qu'un dérivé ?

Dans les termes les plus simples, les dérivés se réfèrent au taux de changement des variables, lorsqu'un changement est enregistré dans la variable indépendante et qu'un changement correspondant est produit dans la variable dépendante. Par conséquent, il met en évidence le changement de sortie dû à un changement de la valeur d'entrée.

Les dérivés sont le plus souvent utilisés avec des équations différentielles. La différenciation est le processus utilisé pour trouver des dérivés. Ils sont utilisés pour connoter la pente d'une ligne tangente. Dans une période de temps donnée, les dérivées mesurent la pente de la pente d'une fonction.

Tout comme les différentielles, les dérivées peuvent également être classées en dérivées du premier et du second ordre. Alors que le premier peut être prédit directement à partir de la pente de la droite, le second prend en compte la concavité du graphe.

Ils sont une partie importante des calculs mathématiques. Souvent, la pente est représentée par :

/dx

Par exemple, une dérivation est définie comme le taux de variation de b par rapport à a. Cette relation est exprimée par b= f(a), où b est fonction de a. La valeur de cette fonction crée la pente de f(a). Les dérivés sont souvent utilisés par les chercheurs scientifiques dans les équations différentielles pour évaluer les changements dans la valeur des variables afin de pouvoir prédire succinctement le comportement de systèmes changeants.

Principales différences entre les différentiels et les dérivés

  1. La principale différence entre les différentiels et les dérivés réside dans leurs définitions qui ont ainsi un impact sur leur fonctionnalité dans le domaine mathématique. Le premier est un sous-domaine du calcul qui connote la différence infinitésimale dans une quantité fluctuante. Les dérivés, d'autre part, se réfèrent à la modification de la valeur de sortie due à une modification correspondante de la valeur d'entrée. Il connote le taux de ce changement.
  2. Les équations différentielles contiennent des dérivées ou des fonctions de dérivations. Alors que les dérivées se réfèrent simplement au changement instantané qui se produit avec la modification de la variable indépendante qui produit un changement correspondant dans la valeur de la variable dépendante.
  3. La connotation fonctionnelle entre les variables dépendantes et indépendantes est connue dans le cas d'une dérivée et inconnue dans le cas d'une différentielle. Cela représente une autre différence importante entre les deux concepts mathématiques.
  4. Les formules d'une équation différentielle et dérivée sont également très différentes. dy/dx = f(x) représente le premier, où y est la variable dépendante et x la variable indépendante. Les dérivés sont représentés par d/dx.
  5. Les différentiels représentent le changement de valeur réelle à travers une carte linéaire, tandis que les dérivées représentent le même changement à travers une carte de pente. Les dérivés calculent la pente d'une fonction sur le graphique à un moment donné.

Conclusion

Les différentielles et les dérivées sont des concepts mathématiques fondateurs indispensables à l'application et à l'étude de problèmes mathématiques complexes. Ils sont tous deux souvent utilisés en conjonction les uns avec les autres et peuvent souvent être mal interprétés si leurs significations ou fonctions restent floues.

Les différences entre les deux concepts sont minimes mais en même temps importantes à connaître. Les deux concepts diffèrent en termes de mise en œuvre et d'utilisation dans les équations. Alors qu'une équation différentielle contient des dérivées ou des fonctions de dérivées, les dérivées sont la mesure du changement instantané qui se produit dans une variable dépendante et qui est déclenchée par un changement correspondant dans la variable indépendante.

Les différentiels sont représentatifs de la relation qui existe entre deux variables. Ils utilisent des dérivés pour définir clairement cette relation et mesurer les changements infinitésimaux.

La représentation de chacun diffère considérablement. De plus, les différentiels cartographient l'altération de la valeur réelle par le biais d'une cartographie linéaire tandis que les dérivées cartographient la pente du changement. Chaque concept incarne également des formes variables significatives.

Références

  1. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
  2. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195
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2D vs 3D