Différence entre le produit scalaire et le produit croisé (avec tableau)

L'algèbre vectorielle fait partie intégrante de la physique et des mathématiques. Il simplifie les calculs et aide à l'analyse d'une grande variété de concepts spatiaux. Un vecteur est une quantité physique qui a une grandeur ainsi qu'une direction. Sa contrepartie est une quantité scalaire qui n'a qu'une grandeur mais pas de direction.

Un vecteur peut être manipulé en utilisant deux opérations de base. Ces opérations sont le produit scalaire et le produit croisé, et elles présentent de grandes différences.

Produit scalaire vs produit croisé

La différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs est que le résultat du produit scalaire est une quantité scalaire, tandis que le résultat du produit vectoriel est une quantité vectorielle.

Un produit scalaire de deux vecteurs est également appelé produit scalaire. C'est le produit de la grandeur des deux vecteurs et du cosinus de l'angle qu'ils forment l'un avec l'autre.

Un produit croisé de deux vecteurs est également appelé produit vectoriel. C'est le produit de la grandeur des deux vecteurs et du sinus de l'angle qu'ils forment l'un avec l'autre.


 

Tableau de comparaison entre le produit scalaire et le produit croisé (sous forme tabulaire)

Paramètre de comparaisonProduit scalaireProduit croisé
Définition généraleUn produit scalaire est le produit de l'amplitude des vecteurs et du cos de l'angle entre eux.Un produit croisé est le produit de la grandeur des vecteurs et du sinus de l'angle qu'ils sous-tendent l'un sur l'autre.
Relation mathématiqueLe produit scalaire de deux vecteurs A et B est représenté par: Α.Β = ΑΒ cos θLe produit croisé de deux vecteurs A et B est représenté par: Α × Β = ΑΒ sin θ
RésultantLa résultante du produit scalaire des vecteurs est une quantité scalaire.La résultante du produit croisé des vecteurs est une quantité vectorielle.
Orthogonalité des vecteursLe produit scalaire est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux (θ = 90 °).Le produit croisé est maximal lorsque les vecteurs sont orthogonaux (θ = 90 °).
CommutativitéLe produit scalaire de deux vecteurs suit la loi commutative: A. B = B. ALe produit croisé de deux vecteurs ne suit pas la loi commutative: A × B ≠ B × A

 

Qu'est-ce que le produit dot?

Un produit scalaire ou un produit scalaire de deux vecteurs est le produit de leurs grandeurs et du cosinus de l'angle sous-tendu par un vecteur par rapport à l'autre. On l'appelle aussi le produit interne ou le produit de projection.

Il est représenté par:

A · Β = | A | | B | cos θ

Le résultat est une quantité scalaire, donc il n'a que la grandeur mais pas de direction.

Nous prenons le cosinus de l'angle pour le calcul du produit scalaire afin que les vecteurs s'alignent dans la même direction. De cette façon, nous obtenons la projection d'un vecteur sur l'autre.

Pour les vecteurs à n dimensions, le produit scalaire est donné par:

A · Β = Σ α¡b¡

Le produit scalaire a les propriétés suivantes:

  • C'est commutatif.

Α · b = b · α

  • Il suit la loi distributive.

Α · (b + c) = α · b + α · c

  • Il suit la loi de multiplication scalaire.

(λα) · (μb) = λμ (α · b)

Le produit scalaire a les applications suivantes:

  • Il est utilisé pour trouver la distance entre deux points dans un plan.

Il est utilisé pour trouver la projection d'un point sur le plan lorsque ses coordonnées sont connues.

 

Qu'est-ce que le produit croisé?

Un produit croisé ou produit vectoriel de deux vecteurs est le produit de leurs amplitudes et du sinus de l'angle sous-tendu par l'un sur l'autre. Il est également appelé le produit de zone dirigée.

Il est représenté par:

A × Β = | A | | B | sin θ

Le résultat est une autre quantité vectorielle. Le vecteur résultant est perpendiculaire aux deux vecteurs. Sa direction peut être déterminée en utilisant la règle de la main droite.

Les règles suivantes doivent être gardées à l'esprit lors du calcul du produit croisé:

  • I × j = k
  • J × k = i
  • K × I = j

Où I, j et k sont les vecteurs unitaires dans les directions x, y et z respectivement.

Le produit croisé a les propriétés suivantes:

  • C'est anti-commutatif.

a × b = - (b × α)

  • Il suit la loi distributive.

a × (b + c) = α × b + α × c

  • Il suit la loi de multiplication scalaire.

(λα) × (b) = λ (α × b)

Le produit croisé a les applications suivantes:

  1. Il est utilisé pour trouver la distance entre deux lignes obliques.
  2. Il est utilisé pour déterminer si deux vecteurs sont coplanaires.

Différences principales entre le produit scalaire et le produit croisé

Le produit scalaire et le produit croisé permettent des calculs en algèbre vectorielle. Ils ont différentes applications et différentes relations mathématiques.

Les principales différences entre les deux sont:

  1. Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit de leurs grandeurs et du cosinus de l'angle qu'ils sous-tendent l'un sur l'autre. D'autre part, le produit croisé de deux vecteurs est le produit de leurs grandeurs et du sinus de l'angle entre eux.
  2. La relation pour le produit scalaire est: α • b = | a | | b | cos θ. Par contre, la relation pour le produit croisé est: α × b = | α | | b | sin θ
  3. Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est une quantité scalaire, tandis que le résultat du produit croisé de deux vecteurs est une quantité vectorielle.
  4. Si deux vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul, alors que leur produit croisé est maximum.
  5. Le produit scalaire suit la loi commutative, tandis que le produit croisé est anti-commutatif.

 

Conclusion

L'algèbre vectorielle a une grande utilité dans diverses matières mathématiques. Son utilisation est très courante en géométrie et en électromagnétisme. Le produit scalaire et le produit vectoriel des vecteurs sont les opérations de base de l'algèbre vectorielle. Ils ont plusieurs applications. Le produit scalaire calcule une quantité scalaire. Cette quantité est généralement la distance ou la longueur.

Le produit vectoriel calcule une quantité vectorielle. Donc, nous obtenons un autre vecteur dans l'espace. Nous pouvons effectuer des opérations telles que l'addition, la soustraction et la multiplication sur des vecteurs. Le déplacement, la vitesse et l'accélération sont des vecteurs courants en physique.

Le concept de vecteur a évolué il y a plus de 200 ans. Depuis lors, il a prospéré grâce aux contributions de nombreux mathématiciens et scientifiques.


Références

  1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
  2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
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2D vs 3D