I metodi matematici hanno un ampio campo di applicazione in quasi tutti i campi, che si tratti di economia, fisica, geografia o qualsiasi altro. La conoscenza dettagliata e l'uso corretto della superficie e del volume sono essenziali per eccellere e raggiungere la perfezione.
Entrambi i concetti diventano significativi durante la risoluzione di problemi di misurazione della vita reale e sono studiati nell'unità di mensurazione. I metodi di Integrazione trovano applicazione nel calcolo dell'Area e del Volume di superfici irregolari e complesse.
Punti chiave
- L'area della superficie misura l'area esterna totale di un oggetto, mentre il volume misura la quantità di spazio che un oggetto occupa.
- La superficie è espressa in unità quadrate, mentre il volume è espresso in unità cubiche.
- L'area della superficie influenza l'esposizione ambientale di un oggetto, mentre il volume ne determina la capacità o le dimensioni.
Superficie vs Volume
La differenza tra Superficie e Volume è che la Superficie misura l'area occupata dallo strato superiore di una superficie. Metti diversamente; è l'area di tutte le forme/piani che compongono le figure/solidi. Al contrario, il volume misura la capacità di carico di una figura/forma o lo spazio racchiuso all'interno della formazione.
Tavola di comparazione
| Parametro di confronto | Superficie | Volume |
|---|---|---|
| Definizione | È l'area di tutte le forme/piani che costituiscono lo strato superiore di una figura/solido. | È lo spazio contenuto nel solido/figura 3D o la quantità di aria al suo interno. |
| Dimensioni | È un concetto bidimensionale. La risposta è sempre in un quadrato unitario come m² o cm². | È un concetto tridimensionale. La risposta è sempre in un'unità cubo come m³ o cm³. |
| È calcolato per? | L'area della superficie può essere calcolata per qualsiasi figura nel piano o nello spazio. | Il volume viene calcolato solo per i solidi perché hanno tre dimensioni. |
| Esempi di vita reale | Troviamo la superficie per stimare la dimensione delle pareti da tinteggiare per calcolare i costi. | Troviamo Volume per stimare quante merci possono essere conservate in un negozio. |
| Metodi per calcolare | Mediante integrazione utilizzando il concetto di arco o rivoluzione dell'arco per figure/solidi complessi. | Sono integrati utilizzando i metodi del disco, della rondella o dei gusci cilindrici. Alcune formule sono casi eccezionali, come in: Per cubo = S*S*S. |
| Alcune formule sono predeterminate come in: Per Quadrato= S*S e Sfera=4πr². |
Cos'è la superficie?
Superficie è l'area totale coperta dalla superficie. Se convertiamo il nostro personaggio in un piano 2D e poi calcoliamo l'intera area, otteniamo l'area della superficie.
Può essere calcolato per qualsiasi cifra; per unidimensionale segmento, l'area della superficie è nulla.
Avremo sempre valori positivi in quanto l'area è a scalare con la sola grandezza. Qualunque sia la dimensione della superficie, l'area ha due dimensioni e, quindi, avrebbe unità come m² o cm² o mm².
È un concetto ampiamente utilizzato dagli architetti ed è molto importante e utile anche per l'uomo comune. Ad esempio, per stimare il tempo, la velocità o il costo della tinteggiatura dei muri, della posa di recinzioni o della delimitazione dei collegi elettorali, ecc.
Alcune formule:
- Quadrato: S*S
- Rettangolo: L*B
- Sfera. : 4πr²
- Cono. : πr(l+r)
Sono stati formulati diversi metodi per trovare l'area di figure complesse: Il metodo per trovare l'area della superficie consiste nel visualizzare l'oggetto solido o 3D come una rivoluzione di una curva piana. Ad esempio, possiamo generare una sfera ruotando un semicerchio.
In questo caso, l'area è il totale di tutte le superfici curve Aree di minuscoli pezzi cilindrici che possono essere tagliati. È qui che entra in gioco l'integrazione; area è uguale all'integrazione di 2πf(x)√(1+(f'(x))²) relativa a x da x=a a x=b.
Cos'è il volume?
Il volume è la capacità di carico o la quantità di aria contenuta all'interno di un solido/figura. Può essere calcolato per figure che hanno più di 2 dimensioni.
Avremo un volume positivo valori perché è uno scalare con solo grandezza. Il volume è tridimensionale e, quindi, avrebbe unità come m³ o mm³ o cm³.
È ampiamente utilizzato nelle aziende per stimare la capacità di stoccaggio e in attrezzature scientifiche come bicchieri, siringhe, ecc. Ad esempio, per conservare sacchi di grano o per misurare medicine.
Alcune formule:
- Cubo: S*S*S
- Cuboide: L*B*H
- Sfera. : ( 4/3) πr³
- Cono. : (1/3)πr²h
Metodi per calcolare il volume di figure complesse e irregolari:
- Volume affettando: Se l'area della sezione trasversale di un solido è nota, possiamo trovare il volume integrando l'area come funzione della variabile per il dominio della variabile.
- Volume per dischi: Visualizzando i solidi come una rivoluzione di una figura piana. Possiamo quindi stimare l'area della sezione trasversale dei pezzi piccoli e piccoli del solido. Il volume sarebbe l'integrazione di π(f(x))² relativa a x per il dominio di x.
- Volume per rondelle: In questo caso, il nostro solido di rivoluzione è formato da una regione compresa tra due piani/curve. L'area della sezione trasversale sarebbe a forma di rondella e il volume sarebbe l'integrazione di π[(f(x))²- (g(x))²] riguardo a x per il dominio di x.
- Volume per conchiglie cilindriche: Possiamo anche risolvere i problemi di cui sopra senza calcolare l'area della sezione trasversale visualizzando il nostro solido come un corpo di fragili cilindri circondati. Il Volume è l'integrazione di 2πxf(x) rispetto a x per l'intervallo di x.
Principali differenze tra superficie e volume
- La Superficie è l'area totale dei piani che formano una superficie/forma, mentre il Volume è lo spazio racchiuso all'interno di una figura/forma/superficie.
- La superficie è un concetto bidimensionale con unità m², cm² o mm², mentre il volume è un concetto tridimensionale con m³, cm³ o mm³ come unità.
- L'area della superficie può essere trovata per figure 2D come cerchi, quadrati e rettangoli, ma non è possibile trovare il volume per esse. Allo stesso tempo, entrambi possono essere trovati per solidi/figure 3D come Cubo, Sfera, Cilindri o Coni.
- L'area di superficie viene trovata per stimare l'area delle pareti da dipingere, mentre il volume viene trovato per stimare la capacità di stoccaggio all'interno delle pareti.
- L'area viene calcolata integrando l'arco o la rivoluzione di un arco (a seconda della figura), mentre il Volume viene calcolato integrando la rivoluzione di una superficie. Questi metodi vengono utilizzati considerando funzioni molto complesse e fanno parte di studi di livello superiore.
- https://sora.unm.edu/sites/default/files/journals/condor/v076n03/p0319-p0325.pdf
- https://pubs.acs.org/doi/full/10.1021/jp060433+
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