T-test vs Z-test: differenza e confronto

Un test t viene utilizzato per confrontare le medie del campione quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta o quando si ha a che fare con campioni di piccole dimensioni, mentre un test z è appropriato quando la deviazione standard della popolazione è nota e le dimensioni del campione sono sufficientemente grandi.

Punti chiave

1. I test T vengono utilizzati per confrontare le medie di due gruppi quando la deviazione standard della popolazione non è nota, mentre i test Z vengono utilizzati quando la deviazione standard della popolazione è nota e la dimensione del campione è ampia.
2. I test T si basano sulla distribuzione t, che viene utilizzata per campioni di dimensioni inferiori e deviazioni standard della popolazione sconosciute, mentre i test Z utilizzano la distribuzione normale standard.
3. In pratica, i test t sono più comuni a causa della rarità delle deviazioni standard della popolazione conosciute. Allo stesso tempo, i test Z sono riservati a situazioni con campioni di grandi dimensioni e parametri di popolazione noti.

Test T vs test Z

Il test Z viene utilizzato quando la media della popolazione e la deviazione standard sono note, presuppone che la popolazione sia distribuita normalmente. Il test t viene utilizzato quando la deviazione standard della popolazione non è nota e deve essere stimata a partire da campione dati. Il test t assume che il campione sia distribuito normalmente.

Un test T è il migliore per problemi con campioni di dimensioni limitate, mentre un test Z funziona meglio per problemi con campioni di grandi dimensioni.

Tavola di comparazione

Aspetto	Prova T	Test Z
Caso d'uso	Utilizzato quando la dimensione del campione è piccola (<30) o la deviazione standard della popolazione non è nota.	Utilizzato quando la dimensione del campione è ampia (>30) e la deviazione standard della popolazione è nota.
Misura di prova	Adatto per campioni di piccole dimensioni.	Adatto per campioni di grandi dimensioni.
Formula	t = (x̄ – μ) / (s / √n)	z = (x̄ – μ) / (σ / √n)
Parametri della popolazione	Tipicamente utilizzato quando i parametri della popolazione (media e deviazione standard) sono sconosciuti.	Solitamente utilizzato quando i parametri della popolazione (media e deviazione standard) sono noti o stimati.
Gradi di libertà	Utilizza n-1 gradi di libertà (dove n è la dimensione del campione) per un test t a due campioni.	Utilizza n gradi di libertà per un test z a un campione.
Ipotesi di varianza	Si presuppone che la varianza campionaria sia uno stimatore imparziale della varianza della popolazione.	Si presuppone che la varianza della popolazione sia nota o possa essere ragionevolmente stimata dal campione.
Distribuzione	Segue una distribuzione t, che ha code più pesanti rispetto alla distribuzione normale standard (z).	Segue una distribuzione normale standard (z).
Esempio	Verificare se i punteggi medi dei test di due diversi gruppi sono significativamente diversi quando le dimensioni del campione sono piccole e le deviazioni standard della popolazione sono sconosciute.	Testare se l’altezza media di una popolazione è significativamente diversa da un valore noto quando la dimensione del campione è ampia e la deviazione standard della popolazione è nota.
Software statistico	Comunemente eseguito utilizzando software come R, Python o calcolatori statistici.	Comunemente eseguito utilizzando software come R, Python o calcolatori statistici.

Cos'è il test T?

Un t-test è un metodo statistico utilizzato per confrontare le medie di due gruppi e determinare se esiste una differenza significativa tra loro. Viene comunemente impiegato nei test di ipotesi quando i dati seguono una distribuzione normale.

Tipi di test T

1. Test T su campioni indipendenti:
   • Utilizzato quando si confrontano le medie di due gruppi indipendenti.
   • Presupposto: i dati in ciascun gruppo sono distribuiti normalmente e le varianze sono approssimativamente uguali.
2. Test T per campioni accoppiati:
   • Applicato quando si confrontano le medie di due gruppi correlati, ad esempio prima e dopo le misurazioni.
   • Presupposto: le differenze tra osservazioni accoppiate sono distribuite normalmente.

Ipotesi nel test T

In un T-Test, le ipotesi sono formulate come segue:

• Ipotesi nulla (H₀): Non presuppone alcuna differenza significativa tra le medie del gruppo.
• Ipotesi alternativa (H₁): Suggerisce una differenza significativa tra le medie del gruppo.

Interpretazione

• Se il valore p è inferiore al livello di significatività (comunemente fissato a 0.05), l'ipotesi nulla viene rifiutata, indicando una differenza significativa.
• Al contrario, un valore p superiore al livello di significatività non riesce a rifiutare l’ipotesi nulla.

Cos'è il test Z?

Uno Z-test è un metodo statistico utilizzato per determinare se esiste una differenza significativa tra le medie del campione e della popolazione o tra le medie di due campioni indipendenti. È particolarmente utile quando si ha a che fare con campioni di grandi dimensioni e quando è nota la deviazione standard della popolazione.

Tipi di test Z

1. Z-Test per un campione:
   • Obbiettivo: Per valutare se il significare di un singolo campione è significativamente diverso dalla media di una popolazione nota.
   • Formula: Z = (X̄ – μ) / (σ / √n), dove X̄ è la media del campione, μ è la media della popolazione, σ è la deviazione standard della popolazione e n è la dimensione del campione.
2. Test Z a due campioni:
   • Obbiettivo: Confrontare le medie di due campioni indipendenti e determinare se esiste una differenza significativa tra loro.
   • Formula: Z = (X̄₁ – X̄₂) / √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂), dove X̄₁ e X̄₂ sono le medie campionarie, σ₁ e σ₂ sono le deviazioni standard e n₁ e n₂ sono le dimensioni del campione.
3. Z-Test per le proporzioni:
   • Obbiettivo: Esaminare se la proporzione di una variabile categoriale in un campione è significativamente diversa da una proporzione nota della popolazione.
   • Formula: Z = (p̂ – p₀) / √(p₀(1 – p₀)/n), dove p̂ è la proporzione del campione, p₀ è la proporzione della popolazione e n è la dimensione del campione.

Verifica di ipotesi con Z-Test

Il test delle ipotesi prevede la creazione di un'ipotesi nulla (H₀) e di un'ipotesi alternativa (H₁ o Ha):

• Ipotesi nulla (H₀): Non presuppone alcuna differenza o effetto significativo.
• Ipotesi alternativa (H₁ o Ha): Rivendica una differenza o un effetto significativo.

La decisione di rifiutare l'ipotesi nulla si basa sulla statistica Z calcolata e su un livello di significatività scelto (α). Se il valore p calcolato è inferiore ad α, l'ipotesi nulla viene rifiutata, indicando significatività statistica.

Principali differenze tra test T e test Z

1. Misura di prova:
   • Prova T: Solitamente utilizzato quando la dimensione del campione è piccola (<30) o quando la deviazione standard della popolazione non è nota.
   • Test Z: Solitamente utilizzato quando la dimensione del campione è ampia (>30) e quando la deviazione standard della popolazione è nota o può essere stimata con precisione.
2. Deviazione standard della popolazione:
   • Prova T: Non richiede la conoscenza della deviazione standard della popolazione; può stimarlo dal campione.
   • Test Z: Richiede la conoscenza della deviazione standard della popolazione o una dimensione del campione sufficientemente ampia per stimarla dal campione.
3. Formula:
   • Prova T: La formula per il test T coinvolge la media campionaria, la deviazione standard campionaria, la dimensione del campione e, facoltativamente, la media della popolazione.
   • Test Z: La formula per il test Z prevede la media del campione, la media della popolazione, la deviazione standard della popolazione e la dimensione del campione.
4. Gradi di libertà:
   • Prova T: Utilizza (n – 1) gradi di libertà per un test T a due campioni e (n – 1) gradi di libertà per un test T a un campione (dove n è la dimensione del campione).
   • Test Z: Utilizza n gradi di libertà per un test Z a un campione.
5. Distribuzione:
   • Prova T: Segue una distribuzione t con code più pesanti rispetto alla distribuzione normale standard (z).
   • Test Z: Segue una distribuzione normale standard (z).
6. Ipotesi di varianza:
   • Prova T: Si presuppone che la varianza campionaria sia uno stimatore imparziale della varianza della popolazione.
   • Test Z: Si presuppone che la varianza della popolazione sia nota o possa essere ragionevolmente stimata dal campione.
7. Casi d'uso:
   • Prova T: Comunemente utilizzato quando la dimensione del campione è piccola, la deviazione standard della popolazione non è nota o quando si confrontano le medie di due gruppi con campioni di piccole dimensioni.
   • Test Z: Utilizzato comunemente quando la dimensione del campione è ampia, la deviazione standard della popolazione è nota o quando si confrontano le medie di due gruppi con campioni di grandi dimensioni.
8. Software statistico:
   • Prova T: Comunemente eseguito utilizzando software statistico come R, Python o calcolatori statistici.
   • Test Z: Comunemente eseguito anche utilizzando software statistico come R, Python o calcolatori statistici.

Ultimo aggiornamento: 25 febbraio 2024