Differenza tra prodotto a punti e prodotto incrociato (con tabella)

L'algebra vettoriale è parte integrante della fisica e della matematica. Semplifica i calcoli e aiuta nell'analisi di un'ampia varietà di concetti spaziali. Un vettore è una grandezza fisica che ha una grandezza e una direzione. La sua controparte è una quantità scalare che ha solo grandezza ma nessuna direzione.

Un vettore può essere manipolato utilizzando due operazioni di base. Queste operazioni sono il prodotto scalare e il prodotto incrociato e presentano grandi differenze.

Prodotto Dot vs Prodotto incrociato

La differenza tra il prodotto scalare e il prodotto vettoriale di due vettori è che il risultato del prodotto scalare è una quantità scalare, mentre il risultato del prodotto vettoriale è una quantità vettoriale.

Un prodotto scalare di due vettori è anche chiamato prodotto scalare. È il prodotto della grandezza dei due vettori e del coseno dell'angolo che formano l'uno con l'altro.

Un prodotto incrociato di due vettori è anche chiamato prodotto vettoriale. È il prodotto della grandezza dei due vettori e del seno dell'angolo che formano l'uno con l'altro.


 

Tabella di confronto tra prodotto a punti e prodotto incrociato (in formato tabulare)

Parametro di confrontoProdotto DotProdotto incrociato
Definizione generaleUn prodotto scalare è il prodotto della grandezza dei vettori e del cos dell'angolo tra di loro.Un prodotto incrociato è il prodotto della grandezza dei vettori e del seno dell'angolo che si sottendono l'uno sull'altro.
Relazione matematicaIl prodotto scalare di due vettori A e B è rappresentato come: Α.Β = ΑΒ cos θIl prodotto incrociato di due vettori A e B è rappresentato come: Α × Β = ΑΒ sin θ
RisultanteLa risultante del prodotto scalare dei vettori è una quantità scalare.La risultante del prodotto incrociato dei vettori è una quantità di vettore.
Ortogonalità dei vettoriIl prodotto scalare è zero quando i vettori sono ortogonali (θ = 90 °).Il prodotto incrociato è massimo quando i vettori sono ortogonali (θ = 90 °).
CommutativitàIl prodotto scalare di due vettori segue la legge commutativa: A. B = B. AIl prodotto incrociato di due vettori non segue la legge commutativa: A × B ≠ B × A

 

Cos'è il prodotto Dot?

Un prodotto scalare o prodotto scalare di due vettori è il prodotto delle loro grandezze e il coseno dell'angolo sotteso da un vettore sull'altro. È anche chiamato prodotto interno o prodotto di proiezione.

È rappresentato come:

A · Β = | A | | B | cos θ

Il risultato è una quantità scalare, quindi ha solo magnitudo ma nessuna direzione.

Prendiamo il coseno dell'angolo per il calcolo del prodotto scalare in modo che i vettori si allineino nella stessa direzione. In questo modo, otteniamo la proiezione di un vettore sull'altro.

Per i vettori con n dimensioni, il prodotto scalare è dato da:

A · Β = Σ α¡b¡

Il prodotto dot ha le seguenti proprietà:

  • È commutativo.

Α · b = b · α

  • Segue la legge distributiva.

Α · (b + c) = α · b + α · c

  • Segue la legge della moltiplicazione scalare.

(λα) · (μb) = λμ (α · b)

Il prodotto dot ha le seguenti applicazioni:

  • Viene utilizzato per trovare la distanza tra due punti in un piano.

È usato per trovare la proiezione di un punto sul piano quando le sue coordinate sono note.

 

Cos'è Cross Product?

Un prodotto incrociato o un prodotto vettoriale di due vettori è il prodotto delle loro grandezze e del seno dell'angolo sotteso da uno sull'altro. Viene anche chiamato prodotto ad area diretta.

È rappresentato come:

A × Β = | A | | B | peccato θ

Il risultato è un'altra quantità di vettore. Il vettore risultante è perpendicolare a entrambi i vettori. La sua direzione può essere determinata usando la regola della mano destra.

Le seguenti regole devono essere tenute presenti durante il calcolo del prodotto incrociato:

  • Io × j = k
  • J × k = i
  • K × I = j

Dove I, j e k sono i vettori unitari rispettivamente nelle direzioni x, y e z.

Il prodotto incrociato ha le seguenti proprietà:

  • È anti-commutativo.

a × b = - (b × α)

  • Segue la legge distributiva.

a × (b + c) = α × b + α × c

  • Segue la legge della moltiplicazione scalare.

(λα) × (b) = λ (α × b)

Il prodotto incrociato ha le seguenti applicazioni:

  1. Viene utilizzato per trovare la distanza tra due linee oblique.
  2. Viene utilizzato per determinare se due vettori sono complanari.

Principali differenze tra prodotto a punti e prodotto incrociato

Il prodotto scalare e il prodotto incrociato consentono calcoli in algebra vettoriale. Hanno diverse applicazioni e differenti relazioni matematiche.

Le principali differenze tra i due sono:

  1. Il prodotto scalare di due vettori è il prodotto delle loro grandezze e del coseno dell'angolo che si sottendono l'uno sull'altro. D'altra parte, il prodotto incrociato di due vettori è il prodotto delle loro grandezze e il seno dell'angolo tra di loro.
  2. La relazione per il prodotto scalare è: α • b = | a | | b | cos θ. D'altra parte, la relazione per il prodotto incrociato è: α × b = | α | | b | peccato θ
  3. Il risultato del prodotto scalare di due vettori è una quantità scalare, mentre il risultato del prodotto incrociato di due vettori è una quantità vettoriale.
  4. Se due vettori sono ortogonali, il loro prodotto scalare è zero, mentre il loro prodotto incrociato è massimo.
  5. Il prodotto scalare segue la legge commutativa, mentre il prodotto incrociato è anti-commutativo.

 

Conclusione

L'algebra vettoriale ha una grande utilità in varie materie matematiche. Il suo uso è molto comune in geometria ed elettromagnetismo. Il prodotto scalare e il prodotto incrociato di vettori sono le operazioni di base dell'algebra vettoriale. Hanno diverse applicazioni. Il prodotto scalare calcola una quantità scalare. Questa quantità è generalmente la distanza o la lunghezza.

Il prodotto vettoriale calcola una quantità vettoriale. Quindi, otteniamo un altro vettore nello spazio. Possiamo eseguire operazioni come addizione, sottrazione e moltiplicazione su vettori. Spostamento, velocità e accelerazione sono vettori comuni in fisica.

Il concetto di vettore si è evoluto oltre 200 anni fa. Da allora, è fiorito grazie al contributo di molti matematici e scienziati.


Riferimenti

  1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
  2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
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2D vs 3D