内積と外積の違い(表付き)

ベクトル代数は、物理学と数学の不可欠な部分です。計算を簡素化し、さまざまな空間概念の分析に役立ちます。ベクトルは、大きさと方向を持つ物理量です。それに対応するのは、大きさだけで方向がないスカラー量です。

ベクトルは、2つの基本的な操作を使用して操作できます。これらの演算は内積と外積であり、大きな違いがあります。

ドット積とクロス積

内積と2つのベクトルの外積の違いは、内積の結果がスカラー量であるのに対し、外積の結果はベクトル量であるということです。

2つのベクトルの内積は、スカラー積とも呼ばれます。これは、2つのベクトルの大きさと、それらが互いに形成する角度の余弦の積です。

2つのベクトルの外積は、ベクトル積とも呼ばれます。これは、2つのベクトルの大きさと、それらが互いに形成する角度の正弦の積です。


 

内積と外積の比較表(表形式)

比較のパラメータドット積クロス積
一般的な定義内積は、ベクトルの大きさとそれらの間の角度のcosの積です。外積は、ベクトルの大きさと、ベクトルが互いに従属する角度の正弦の積です。
数学的関係2つのベクトルAとBの内積は、次のように表されます。Α.Β=ΑΒcosθ2つのベクトルAとBの外積は、次のように表されます。Α×Β=ΑΒsinθ
結果ベクトルの内積の結果はスカラー量です。ベクトルの外積の結果は、ベクトル量です。
ベクトルの直交性ベクトルが直交している場合(θ= 90°)、内積はゼロです。ベクトルが直交している場合(θ= 90°)、外積が最大になります。
可換性2つのベクトルの内積は、可換法則に従います:A。B = B. A2つのベクトルの外積は、可換法則に従いません:A×B≠B×A

 

ドット積とは何ですか?

2つのベクトルの内積またはスカラー積は、それらの大きさと、一方のベクトルが他方の上にある角度の余弦の積です。内積または射影積とも呼ばれます。

それは次のように表されます:

A・Β= | A | | B | cosθ

結果はスカラー量であるため、大きさのみがあり、方向はありません。

ベクトルが同じ方向に整列するように、内積の計算に角度の余弦を取ります。このようにして、一方のベクトルの他方への射影を取得します。

n次元のベクトルの場合、内積は次の式で与えられます。

A・Β=Σα¡b¡

ドット積には次のプロパティがあります。

  • 可換です。

Α・b = b・α

  • それは分配法則に従います。

Α・(b + c)=α・b +α・c

  • スカラー乗法に従います。

(λα)・(μb)=λμ(α・b)

ドット積には、次のアプリケーションがあります。

  • これは、平面内の2点間の距離を見つけるために使用されます。

座標がわかっている場合に、平面上の点の投影を見つけるために使用されます。

 

クロス積とは何ですか?

2つのベクトルの外積またはベクトル積は、それらの大きさと、一方が他方の上にある角度の正弦の積です。有向エリア製品とも呼ばれます。

それは次のように表されます:

A×Β= | A | | B | sinθ

結果は別のベクトル量です。結果のベクトルは両方のベクトルに垂直です。その方向は、右手の法則を使用して決定できます。

外積を計算するときは、次の規則に留意する必要があります。

  • I×j = k
  • J×k = i
  • K×I = j

ここで、I、j、およびkは、それぞれx、y、およびz方向の単位ベクトルです。

外積には次の特性があります。

  • 反交換です。

a×b = –(b×α)

  • それは分配法則に従います。

a×(b + c)=α×b +α×c

  • スカラー乗法に従います。

(λα)×(b)=λ(α×b)

クロス積には、次のアプリケーションがあります。

  1. これは、2つのねじれの位置の間の距離を見つけるために使用されます。
  2. これは、2つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを判断するために使用されます。

内積と外積の主な違い

内積と外積により、ベクトル代数での計算が可能になります。それらは異なるアプリケーションと異なる数学的関係を持っています。

2つの主な違いは次のとおりです。

  1. 2つのベクトルの内積は、それらの大きさと、それらが互いに従属する角度の内積の積です。一方、2つのベクトルの外積は、それらの大きさとそれらの間の角度の正弦の積です。
  2. 内積の関係は次のとおりです。α•b = | a | | b | cosθ。一方、外積の関係は次のとおりです。α×b = |α| | b | sinθ
  3. 2つのベクトルの内積の結果はスカラー量ですが、2つのベクトルの外積の結果はベクトル量です。
  4. 2つのベクトルが直交している場合、それらの内積はゼロですが、外積は最大です。
  5. 内積は可換法則に従いますが、外積は反可換です。

 

結論

ベクトル代数は、さまざまな数学の主題で優れた有用性を持っています。その使用は、幾何学および電磁気学で非常に一般的です。ベクトルの内積と外積は、ベクトル代数の基本的な操作です。それらにはいくつかのアプリケーションがあります。内積はスカラー量を計算します。この量は通常、距離または長さです。

外積はベクトル量を計算します。したがって、空間で別のベクトルを取得します。ベクトルに対して、加算、減算、乗算などの演算を実行できます。変位、速度、および加速度は、物理学の一般的なベクトルです。

ベクトルの概念は200年以上前に進化しました。それ以来、多くの数学者や科学者の貢献により繁栄してきました。


参考文献

  1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
  2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
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