算術シーケンスと幾何シーケンス: 違いと比較

算術数列には連続する項間の一定の差が含まれますが、等比数列には連続する項間の一定の比が含まれます。

主要な取り組み

1. 算術数列は、各項が前の項に定数を追加することによって得られる数列です。
2. 幾何学的数列は、前の項に定数を掛けて各項が得られる数列です。
3. 算術シーケンスは線形関係をモデル化するために使用され、幾何学的シーケンスは指数関数的関係をモデル化するために使用されます。

算術 vs 幾何学的シーケンス

等差数列のメンバー間の変動は線形ですが、等比数列の要素の変動は指数関数的です。 無限等差数列は発散します。 一方、無限の幾何学的シーケンスは、状況に応じて収束または発散します。

算術数列の連続する XNUMX つの項の違いはよくあることです。 一方、等比数列の連続する XNUMX つの項の比率は、標準比率と呼ばれます。

比較表

特徴	等差数列	等比数列
定義	各項が前の項に定数値（公差）を加算して得られる数列。	各項が前の項に定数値（公比）を乗算して得られる数列。
式	a_n = a_1 + d(n-1)	a_n = a_1 * r^(n-1)
主な特徴	用語間の一定の差異。	項間の一定の比率。
行動	項は一定値ずつ増加または減少します。	用語は指数関数的に増加または減少します。
最初の n 項の合計	S_n = n/2 * (a_1 + a_n)	S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
例	2、5、8、11、14、…	2、6、18、54、162、…
アプリケーション	財政計算、人口増加、物理学（落下物）、音楽理論	複利、指数関数的減衰、人口増加、幾何学的形状

算術数列とは

等差数列は、各項が以下のような数列です。 定数値を加算して得られる (と呼ばれる 公差）前期へ。 これは、予測可能な動作とさまざまな分野での応用を備えた特殊なシーケンス タイプです。

その主な特徴の内訳は次のとおりです。

定義：

• 各項が次のように取得される番号の順序付きリスト。 前の項に同じ数（公差）を足す.

式：

• a_n = a_1 + d(n-1)
  • a_n: 数列の n 番目の項。
  • a_1: 数列の最初の項。
  • d：共通の違い。
  • n: シーケンス内の用語の位置。

主な特徴:

• 一定の共通の違い: 各項は同じ定数値だけ前の項と異なり、シーケンスの進行を決定します。

動作：

• 線形進行: 用語 増減 定数値 (d) によって変化します。
• 予測可能なパターン: 差が一定であるため、シーケンスの項は容易に予測可能であり、公式を使用して計算できます。

最初の n 項の合計:

• S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
  • S_n: 最初の n 項の合計。
  • n: 項の数。
  • a_1: 第一期。
  • a_n:n期。

例：

• 2、5、8、11、14、…（3の共通差）
• -10、-7、-4、-1、2、…（3 の共通差）
• 3、7、11、15、19、…（4の共通差）

アプリケーション：

• ファイナンス： 複利、ローンの支払い、将来の価値を計算します。
• 物理： 落下物、発射体の動き、単純な調和運動を解析します。
• 音楽理論： 音程とスケールを理解する。
• 人口増加： 時間の経過に伴う線形的な人口増加をモデル化します。

幾何学的シーケンスとは何ですか?

等比数列とは、各項が以下のような数列です。 前の項に定数値を乗算して得られます (と呼ばれる 公比）。 これは、独特の特性を備えた特殊なシーケンス タイプであり、さまざまな分野で応用されています。

主な機能の内訳は次のとおりです。

定義：

• 番号の順序付きリスト。 項間の関係は定数乗算に基づいています.
• 各項は次のように取得されます。 前の項に一定の数（公比）を掛ける.

式：

• a_n = a_1 * r^(n-1)
  • a_n: 数列の n 番目の項。
  • a_1: 数列の最初の項。
  • r：公比。
  • n: シーケンス内の用語の位置。

主な特徴:

• 定公比: シーケンスは、各項に同じ定数値 (r) を乗算することによって進行し、その成長または減衰を決定します。

動作：

• 指数関数的な成長または減衰: 公比の値に応じて、数列の項は指数関数的に増加または減少する可能性があります。
• 急速な変化: 等差数列と比較して、幾何数列は、数列が進行するにつれてより速い変化率を経験します。

収束または発散:

• 等比数列は、公比の絶対値が 1 未満の場合に収束します。
• 公比の絶対値が 1 以上の場合に発散します。

最初の n 項の合計:

• S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
  • S_n: 最初の n 項の合計。
  • n: 項の数。
  • a_1: 第一期。
  • r：公比。

例：

• 2、6、18、54、162、…（公比3）
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3、9、-27、81、-243、…（-3の公比）

アプリケーション：

• ファイナンス： 複利、指数関数的成長モデル、減価償却の計算。
• 科学： 放射性崩壊、限られた資源での人口増加、幾何学的形状をモデル化します。
• 音楽理論： ピッチに関連する音程と対数を理解する。
• 暗号化 モジュラー算術に基づいた暗号化アルゴリズムを実装します。

算術数列と幾何学的数列の主な違い

1. 進行パターン:
   • 算術数列: 算術数列の各項は、前の項に固定定数 (「共通差分」と呼ばれる) を追加することによって取得され、結果として線形数列になります。
   • 幾何数列: 幾何数列の各項は、前の項に固定定数 (「公比」と呼ばれる) を乗算することによって取得され、指数関数的数列になります。
2. 式:
   • 等差数列: 等差数列の一般式は、an = a1 + (n – 1) * d です。ここで、an は n 番目の項、a1 は最初の項、d は公差を表します。
   • 幾何数列: 幾何数列の一般式は、an = a1 * r^(n – 1) です。ここで、an は n 番目の項、a1 は最初の項、r は公比を表します。
3. 変化率:
   • 算術数列: 連続する項間の変化率は一定であり、公差 (d) に等しくなります。
   • 幾何数列: 連続する項間の変化率は一定であり、公比 (r) に等しくなります。
4. 進行例:
   • 等差数列: 等差数列の例は 2、4、6、8、10、... で、公差 (d) は 2 です。
   • 幾何数列: 幾何数列の例は、3、6、12、24、48、…であり、公比 (r) は 2 です。
5. 用語の性質:
   • 等差数列: 等差数列内の項は、各項ごとに一定量ずつ増加または減少する量を表します。
   • 幾何数列: 幾何数列内の項は、各項ごとに一定の割合で増加または減少する量を表します。
6. 用語の合計:
   • 算術数列: 算術数列の最初の n 項の合計は、式 Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d] を使用して計算できます。ここで、Sn は合計、n は項の数、a1 は最初の項、d は公差です。
   • 幾何数列: 幾何数列の最初の n 項の合計は、式 Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r) を使用して計算できます。ここで、Sn は合計、n は数値です。項のうち、a1 は第 XNUMX 項、r は公比です。

参考文献

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf

最終更新日 : 11 年 2023 月 XNUMX 日