内積と外積: 違いと比較

ベクトル代数は、物理学と数学の不可欠な部分です。 計算を簡素化し、さまざまな空間概念の分析に役立ちます。

ベクトルは、XNUMX つの基本操作を使用して操作できます。 これらの操作は内積と外積であり、大きな違いがあります。

主要な取り組み

1. 数学演算: 内積は XNUMX つのベクトルのスカラー積を計算し、外積はベクトル積を計算します。
2. 結果: 内積はスカラー量を生成し、外積はベクトルを生成します。
3. 直交性: ベクトルが直交する場合、内積はゼロになりますが、外積は元のベクトルに垂直なベクトルになります。

内積と外積

XNUMX つのベクトルの内積と外積の違いは、結果が スカラー 外積の展開はベクトル量です。

XNUMX つのベクトルの内積は、スカラー積とも呼ばれます。 これは、XNUMX つのベクトルの大きさと、それらが互いに形成する角度のコサインの積です。

XNUMX つのベクトルの外積は、ベクトル積とも呼ばれます。 これは、XNUMX つのベクトルの大きさと、それらが互いに形成する角度のサインの積です。

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比較表

比較のパラメータ	内積	Cross Product
一般的な定義	内積は、ベクトルの大きさとそれらの間の角度の cos の積です。	外積は、ベクトルの大きさと、それらが互いに従う角度のサインの積です。
数学的関係	XNUMX つのベクトル A と B の内積は次のように表されます。 Α.Β = ΑΒ cos θ	XNUMX つのベクトル A と B の外積は Α × Β = ΑΒ sin θ として定義されます。
結果	ベクトルの内積の結果はスカラー量です。	ベクトルの外積の結果はベクトル量です。
ベクトルの直交性	ベクトルが直交している場合 (θ = 90°)、内積はゼロです。	外積は、ベクトルが直交している場合 (θ = 90°) に最大になります。
可換性	XNUMX つのベクトルの内積は交換法則に従います: A. B = B. A	XNUMX つのベクトルの外積は交換法則に従いません: A × B ≠ B × A

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内積とは

XNUMX つのベクトルの内積またはスカラー積は、それらの大きさの積と、一方のベクトルが他方のベクトルに対して張る角度のコサインです。

次のように表されます。

A·Β = |A| |B| cosθ

結果はスカラー量なので、大きさだけで方向はありません。

ベクトルが同じ方向に整列するように、内積を計算するために角度の余弦を取ります。 このようにして、一方のベクトルの他方のベクトルへの射影を取得します。

n 次元のベクトルの場合、内積は次の式で与えられます。

A・Β = Σ α¡b¡

内積には次のプロパティがあります。

• 可換です。

α・b＝b・α

• 分配法則に従います。

α・(b+c)=α・b+α・c

• スカラー倍の法則に従います。

( λα) ・ ( μb) = λμ ( α・ b)

 

クロス積とは何ですか?

XNUMX つのベクトルの外積またはベクトル積は、それらの大きさの積であり、一方が他方に対して定める角度のサインです。

次のように表されます。

A×Β = |A| |B| 正弦θ

結果は別のベクトル量です。 結果のベクトルは、両方のベクトルに垂直です。 その方向は、右手の法則を使用して決定できます。

以下のルールは守らなければならない マインド クロス積の計算中:

• 私 × j = k
• J × k = i
• K × I = j

I、j、および k は、それぞれ x、y、および z 方向の単位ベクトルです。

クロス積には次のプロパティがあります。

• それは反可換性です。

a×b＝－（b×α）

• 分配法則に従います。

a × ( b+c) = α × b + α × c

• スカラー倍の法則に従います。

( λα) × ( b) = λ ( α × b)

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内積と外積の主な違い

内積と外積により、ベクトルでの計算が可能 代数. それらには、さまざまなアプリケーションとさまざまな数学的関係があります。

XNUMX つの主な違いは次のとおりです。

1. XNUMX つのベクトルが直交する場合、内積はゼロですが、外積は最大になります。
2. 内積は交換法則に従いますが、外積は逆可換です。

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参考情報

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf