Calculadora de equação cúbica

instruções:

• Insira coeficientes a, b, c e d para a equação cúbica.
• Clique em “Calcular” para encontrar as raízes da equação cúbica.
• Os resultados exibirão as raízes junto com cálculos e explicações detalhadas.
• Seu histórico de cálculos será mostrado abaixo.
• Clique em “Limpar resultados” para redefinir a calculadora.
• Clique em “Copiar resultados” para copiar os resultados para a área de transferência.

x ^ 3 +

x ^ 2 +

x +

calculado Resultados claros Copiar resultados

Cálculo detalhado e explicação:

História de Cálculo

Calculadora de Equações Cúbicas é uma ferramenta que ajuda a resolver equações cúbicas. Uma equação cúbica é uma equação algébrica com grau 3. Isso significa que o expoente mais alto na equação é 3. Escrita na forma padrão, onde a ≠ 0, uma equação cúbica se parece com isto: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Os termos b, c ou d podem estar faltando na equação, ou o termo a pode ser 1. Você tem uma equação cúbica, desde que haja um valor ax^3.

Conceitos

A seguir estão alguns dos conceitos-chave subjacentes às equações cúbicas:

Raízes

As soluções de uma equação cúbica são chamadas raízes da função cúbica definida pelo lado esquerdo da equação. Se todos os coeficientes a, b, c e d da equação cúbica forem números reais, então ela terá pelo menos uma raiz real (isso é verdade para todas as funções polinomiais de grau ímpar). Todas as raízes da equação cúbica podem ser encontradas pelos seguintes meios:

• Algebricamente: Mais precisamente, eles podem ser expressos por uma fórmula cúbica envolvendo os quatro coeficientes, as quatro operações aritméticas básicas, raízes quadradas e raízes cúbicas. Isso também é verdade para equações quadráticas (segundo grau) e quárticas (quarto grau), mas não para equações de grau superior, pelo teorema de Abel-Ruffini.
• Trigonometricamente: aproximações numéricas das raízes podem ser encontradas usando algoritmos de localização de raízes, como o método de Newton.

Fórmulas de Vieta

As fórmulas de Vieta mostram a relação entre os coeficientes de um polinômio e as somas e produtos de suas raízes. Se você conhece uma raiz, pode fazer substituições e descobrir as outras. Para uma equação cúbica ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0, sejam p, q e r as 3 raízes da equação. Então: (x − p)(x − q)(x − r) = 0, assim como ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. As fórmulas de Vieta usam essas equivalências para mostrar como as raízes se relacionam com os coeficientes da equação cúbica. As equivalências estão listadas abaixo, juntamente com a prova.

Equivalentes de Vieta	Expressão Raiz	É igual a
p + q + r	-BA
pq + qr + rp	c / a
pqr	-d/a

Benefícios

Calculadora de equações cúbicas é uma ferramenta útil para resolver equações cúbicas. Isso pode economizar tempo e esforço em comparação com a resolução manual da equação. A calculadora pode encontrar todas as soluções para x, incluindo soluções complexas. Existem uma ou três possíveis soluções de raízes reais para x para qualquer equação cúbica. Você pode ter apenas duas soluções distintas como no caso x = 1, x = 5, x = 5, porém, ainda existem três raízes reais.

Fatos interessantes

• As equações cúbicas eram conhecidas pelos antigos babilônios, gregos, chineses, indianos e egípcios.
• O problema de duplicar o cubo envolve a equação cúbica estudada mais simples e mais antiga, e para a qual os antigos egípcios não acreditavam que existisse uma solução.
• No século V a.C., Hipócrates reduziu este problema a encontrar duas médias proporcionais entre uma linha e outra com o dobro do seu comprimento, mas não conseguiu resolver isto com uma construção de compasso e régua. Esta tarefa é agora conhecida como impossível.

Referências

• Arquimedes: Sobre a Esfera e o Cilindro, Livro II, Proposição II
• Isaac Newton: Principia Mathematica, Livro I, Proposição X
• Leonhard Euler: Introdução em Analysin Infinitorum, Volume I, Capítulo 9
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales cerca de Superficies Curvas, Capítulo 11

Última atualização: 25 de novembro de 2023