Diferença entre FFT e DFT (com tabela)

As tecnologias estão à frente de tudo, os desenvolvimentos no setor da tecnologia permitem que o mundo digital seja cada vez mais eficiente. Os computadores são exemplos em que o sistema pode parecer fácil ou acessível, mas o processamento interno é bastante complexo.

O que quer que esteja visível na tela do computador ou laptop não está diretamente conectado ao que a pessoa digita; em vez disso, inclui várias unidades que ajudam a processar a entrada e convertê-la em uma saída legível. 

DSP é a abreviatura de processamento de sinal digital que permite esse processo de conversão da entrada em texto legível ou imagem clara e visível. Cada entrada é alguma das outras formas de dados ou informações, portanto, o DSP permite essa conversão.

Dentro do DSP existem diferentes componentes de diferentes tipos que funcionam de forma diferente em sua unidade, existem diferentes ferramentas que ajudam na conversão de frequência e sinais. Alguns deles são transformada de Fourier, transformada de Laplace, transformada z, etc.    

FFT vs DFT

A diferença entre FFT e DFT é que FFT aprimora o trabalho de DFT. Ambos fazem parte de um sistema ou transformação de Fourier, mas seus trabalhos são diferentes um do outro.

Tabela de comparação entre FFT e DFT

Parâmetros de comparaçãoFFTDFT
Formulário completoTransformação rápida de FourierTransformada discreta de Fourier
DefiniçãoO amálgama de várias técnicas de computação, incluindo DFT.  O algoritmo matemático que transforma o domínio do tempo em componentes do domínio da frequência.
TrabalhosComputação mais rápidaEstabelecendo a relação entre o domínio do tempo e o domínio da frequência
FormuláriosConvolução, medição de tensão, etc.Estimativa de espectro, convicção, etc.
VersãoVersão rápidaVersão discreta

O que é FFT?

Abreviatura de FFT para Fast Fourier transform, é um algoritmo matemático em computadores que permite a aceleração das conversões feitas por DFT (discrete Fourier transform). Isso ajuda a reduzir as complexidades da computação.

FFT é amplamente utilizado no processamento de sinais. Ele reduz o número de cálculos necessários para N pontos 2N2 a N log N, em que LG é um algoritmo de base dois. FFT é classificado em duas categorias; dizimação no tempo e dizimação na frequência. 

O algoritmo FFT funciona de maneira diferente, reorganizando os elementos de entrada em ordem invertida de bits e, em seguida, constrói a transformação de saída (decimação no tempo). O trabalho básico é quebrar uma transformada de comprimento N em duas transformadas de comprimento N / 2.

FFT é um algoritmo que foi discutido por Cooley e Turquia em 1965, mas a fatoração crítica desse algoritmo é descrita por Gauss em 1805, que é por Cooley e Tukey. Gauss descreveu a fatoração passo a passo.

O funcionamento do FFT pode ser explicado por meio de exemplos; se uma operação leva 1 nanossegundo, a transformação rápida de Fourier reduzirá o tempo para 30 segundos, calculando a transformada discreta de Fourier para o tamanho do problema N = 10 * 9.

No jargão da ciência da computação, a transformada rápida de Fourier (FFT) reduz o número de cálculos necessários para o tamanho do problema N. Em poucas palavras, a transformada rápida de Fourier é um algoritmo matemático que é usado para cálculo rápido e eficiente da transformada discreta de Fourier (DFT). 

A transformada rápida de Fourier (FFT) é útil para redução de tempo em cálculos feitos por DFT e a eficiência de FFT é visível em engenharia de som, sismologia ou medição de tensão.

O que é DFT?

DFT é uma abreviatura de Discrete Fourier transform, é um algoritmo matemático que ajuda no processamento dos sinais digitais calculando o espectro de um sinal de duração finita. 

O DFT funciona transformando N amostras de tempo discreto para o mesmo número de amostras de frequência discreta. Em algumas aplicações, a forma do domínio do tempo não é aplicável para sinais, caso em que o conteúdo da frequência do sinal se torna muito útil.

O outro tipo de DFT é IDFT, que significa transformada discreta inversa de Fourier, embora funcione de maneira bastante semelhante à de DFT, pois também transforma N amostras de frequência discreta para o mesmo número de amostras de tempo discreto.

Existem várias circunstâncias em que o conteúdo da frequência de um sinal no domínio do tempo. O DFT funciona em aplicações como osciladores LC para ver quanto ruído está presente em uma onda senoidal produzida. Além da estimativa de espectro, o DFT tem várias outras aplicações em DSP, por exemplo, convolução rápida.

Algumas das propriedades do DFT são: -

  1. Linearidade - de acordo com a linearidade DFT de uma combinação de sinais é igual à soma dos sinais individuais.
  2. Dualidade - existe um teorema é usado para encontrar a sequência de duração finita, o teorema usado é; X (N) ⟷Nx [((- k)) N]. 

Existem outras propriedades do DFT, que inclui; propriedades conjugadas complexas, mudança de frequência circular, multiplicação de duas sequências, teorema de Parseval e simetria.

A DFT ou a transformada discreta de Fourier funciona transformando os sinais do domínio do tempo em componentes do domínio da frequência, visto que a representação dos sinais digitais em termos de seu componente de frequência é importante no domínio da frequência.

Este é um exame direto da informação codificada na fase de frequência e na amplitude do componente sinusóide. Por exemplo, a fala humana e a audição usam sinais para esses tipos de codificação; além disso, o DFT pode encontrar a resposta de frequência do sistema a partir da resposta ao impulso do sistema e vice-versa.

Principais diferenças entre FFT e DFT

  1. FFT significa transformada rápida de Fourier, por outro lado, DFT significa transformada discreta de Fourier.
  2. FFT é uma versão muito eficiente e rápida da transformada de Fourier, enquanto DFT é uma versão discreta da transformada de Fourier.
  3. FFT é útil em engenharia de som, sismologia, etc., ao contrário, DFT é útil em estimativa de espectro, convolução, etc.
  4. FFT é uma implementação de DFT enquanto DFT estabelece uma relação entre o domínio do tempo e a representação do domínio da frequência.
  5. DFT é um algoritmo matemático que transforma sinais no domínio do tempo em componentes do domínio da frequência. Por outro lado, o algoritmo FFT consiste em várias técnicas de computação, incluindo DFT.

Conclusão

Ambos FFT e DFT são importantes para técnicas de computação e desempenham um papel importante nas conversões.

FFT e DFT fazem parte do DSP. FFT também funciona para DFT.                     

Referências

  1. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/115105/
  2. https://www.researchgate.net/profile/Levent_Sevgi/publication/3305825_Numerical_fourier_transforms_DFT_and_FFT/links/5ad4d519a6fdcc2935809380/Numerical-fourier-transforms-DFT-and-FFT.pdf
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