Diferença entre produto interno e produto cruzado (com tabela)

Vector algebra is an integral part of Physics and Mathematics. It simplifies calculations and helps in the analysis of a wide variety of spatial concepts. A vector is a physical quantity that has a magnitude as well as direction. Its counterpart is a scalar quantity that has only magnitude but no direction.

Um vetor pode ser manipulado usando duas operações básicas. Essas operações são o produto escalar e o produto vetorial, e têm grandes diferenças.

Produto interno x produto cruzado

A diferença entre o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores é que o resultado do produto escalar é uma quantidade escalar, enquanto o resultado do produto vetorial é uma quantidade vetorial.

Um produto escalar de dois vetores também é chamado de produto escalar. É o produto da magnitude dos dois vetores e o cosseno do ângulo que eles formam um com o outro.

Um produto cruzado de dois vetores também é chamado de produto vetorial. É o produto da magnitude dos dois vetores e o seno do ângulo que eles formam um com o outro.


 

Tabela de comparação entre produto interno e produto cruzado (na forma tabular)

Parâmetro de comparaçãoProduto internoProduto cruzado
Definição GeralUm produto escalar é o produto da magnitude dos vetores e o cos do ângulo entre eles.Um produto vetorial é o produto da magnitude dos vetores e o seno do ângulo que eles se subentendem.
Relação MatemáticaO produto escalar de dois vetores A e B é representado como: Α.Β = ΑΒ cos θO produto vetorial de dois vetores A e B é representado como: Α × Β = ΑΒ sen θ
ResultanteA resultante do produto escalar dos vetores é uma quantidade escalar.A resultante do produto vetorial dos vetores é uma quantidade vetorial.
Ortogonalidade de vetoresO produto escalar é zero quando os vetores são ortogonais (θ = 90 °).O produto vetorial é máximo quando os vetores são ortogonais (θ = 90 °).
ComutatividadeO produto escalar de dois vetores segue a lei comutativa: A. B = B. AO produto vetorial de dois vetores não segue a lei comutativa: A × B ≠ B × A

 

O que é produto interno?

Um produto escalar ou produto escalar de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o cosseno do ângulo subtendido por um vetor sobre o outro. Também é chamado de produto interno ou produto de projeção.

É representado como:

A · Β = | A | | B | cos θ

O resultado é uma quantidade escalar, portanto, tem apenas magnitude, mas nenhuma direção.

Pegamos o cosseno do ângulo para o cálculo do produto escalar de modo que os vetores se alinhem na mesma direção. Dessa forma, obtemos a projeção de um vetor sobre o outro.

Para vetores com n dimensões, o produto escalar é dado por:

A · Β = Σ α¡b¡

O produto escalar tem as seguintes propriedades:

  • É comutativo.

Α · b = b · α

  • Segue a lei distributiva.

Α · (b + c) = α · b + α · c

  • Ele segue a lei da multiplicação escalar.

(λα) · (μb) = λμ (α · b)

O produto escalar tem as seguintes aplicações:

  • Ele é usado para encontrar a distância entre dois pontos em um plano.

É usado para encontrar a projeção de um ponto no plano quando suas coordenadas são conhecidas.

 

O que é produto cruzado?

Um produto vetorial ou produto vetorial de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o seno do ângulo subtendido por um sobre o outro. Também é chamado de produto de área direcionada.

É representado como:

A × Β = | A | | B | sin θ

O resultado é outra quantidade vetorial. O vetor resultante é perpendicular a ambos os vetores. Sua direção pode ser determinada usando a regra da mão direita.

As seguintes regras devem ser mantidas em mente ao calcular o produto vetorial:

  • I × j = k
  • J × k = i
  • K × I = j

Onde I, j e k são os vetores unitários na direção x, y e z, respectivamente.

O produto vetorial tem as seguintes propriedades:

  • É anti-comutativo.

a × b = - (b × α)

  • Segue a lei distributiva.

a × (b + c) = α × b + α × c

  • Ele segue a lei da multiplicação escalar.

(λα) × (b) = λ (α × b)

O produto vetorial tem as seguintes aplicações:

  1. É usado para encontrar a distância entre duas linhas de inclinação.
  2. É usado para determinar se dois vetores são coplanares.

Principais diferenças entre produtos escalares e produtos cruzados

O produto escalar e o produto vetorial permitem cálculos em álgebra vetorial. Eles têm diferentes aplicações e diferentes relações matemáticas.

As principais diferenças entre os dois são:

  • O produto escalar de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o cosseno do ângulo que eles se subentendem. Por outro lado, o produto vetorial de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o seno do ângulo entre eles.
  • A relação para o produto escalar é: α • b = | a | | b | cos θ. Por outro lado, a relação para o produto vetorial é: α × b = | α | | b | sin θ
  • O resultado do produto escalar de dois vetores é uma quantidade escalar, enquanto o resultado do produto vetorial de dois vetores é uma quantidade vetorial.
  • Se dois vetores são ortogonais, então seu produto escalar é zero, enquanto seu produto vetorial é máximo.
  • O produto escalar segue a lei comutativa, enquanto o produto vetorial é anticomutativo.

 

Conclusão

A álgebra vetorial tem grande utilidade em várias disciplinas matemáticas. Seu uso é muito comum em geometria e eletromagnetismo. O produto escalar e o produto vetorial de vetores são as operações básicas em álgebra vetorial. Eles têm várias aplicações. O produto escalar calcula uma quantidade escalar. Essa quantidade geralmente é a distância ou o comprimento.

The cross product computes a vector quantity. So, we get another vector in space. We can perform operations such as addition, subtraction, and multiplication on vectors. Displacement, velocity, and acceleration are common vectors in Physics.

O conceito de vetor evoluiu há mais de 200 anos. Desde então, ele floresceu devido às contribuições de muitos matemáticos e cientistas.