A álgebra vetorial é parte integrante da Física e da Matemática. Simplifica os cálculos e ajuda a analisar uma ampla variedade de conceitos espaciais.
Um vetor pode ser manipulado usando duas operações básicas. Essas operações são os produtos escalar e cruzado, com grandes diferenças.
Principais lições
- Operação matemática: o produto escalar calcula o produto escalar de dois vetores, enquanto o produto vetorial calcula o produto vetorial.
- Resultado: o produto escalar produz uma quantidade escalar, enquanto o produto vetorial produz um vetor.
- Ortogonalidade: O produto escalar é zero quando os vetores são ortogonais, enquanto o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos vetores originais.
Produto escalar x produto cruzado
A diferença entre o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores é que o resultado é um escalar quantidade, enquanto o desenvolvimento do produto vetorial é uma quantidade vetorial.
Um produto escalar de dois vetores também é chamado de produto escalar. É o produto da magnitude dos dois vetores e o cosseno do ângulo que eles formam entre si.
Um produto vetorial de dois vetores também é chamado de produto vetorial. É o produto da magnitude dos dois vetores e o seno do ângulo que eles formam entre si.
Tabela de comparação
| Parâmetro de Comparação | Produto Dot | Produto cruzado |
|---|---|---|
| Definição geral | Um produto escalar é o produto da magnitude dos vetores e o cos do ângulo entre eles. | Um produto vetorial é o produto da magnitude dos vetores e o seno do ângulo que eles subtendem um ao outro. |
| Relação matemática | O produto escalar de dois vetores A e B é representado como: Α.Β = ΑΒ cos θ | O produto vetorial de dois vetores A e B é definido como Α × Β = ΑΒ sen θ |
| Resultante | A resultante do produto escalar dos vetores é uma grandeza escalar. | A resultante do produto vetorial dos vetores é uma grandeza vetorial. |
| Ortogonalidade de Vetores | O produto escalar é zero quando os vetores são ortogonais ( θ = 90°). | O produto vetorial é máximo quando os vetores são ortogonais ( θ = 90°). |
| comutatividade | O produto escalar de dois vetores segue a lei comutativa: A. B = B. A | O produto vetorial de dois vetores não segue a lei comutativa: A × B ≠ B × A |
O que é Produto Dot?
Um produto escalar ou escalar de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o cosseno do ângulo subentendido por um vetor sobre o outro.
É representado como:
A·Β = |A| |B| cosθ
O resultado é uma quantidade escalar, então ela tem apenas magnitude, mas não tem direção.
Tomamos o cosseno do ângulo para calcular o produto escalar de modo que os vetores se alinhem na mesma direção. Desta forma, obtemos a projeção de um vetor sobre o outro.
Para vetores com n dimensões, o produto escalar é dado por:
A·Β = Σ α¡b¡
O produto escalar tem as seguintes propriedades:
- É comutativo.
Α· b = b·α
- Segue a lei distributiva.
Α· (b+c) = α·b + α·c
- Segue a lei da multiplicação escalar.
( λα) · ( μb) = λμ ( α· b)
O que é Produto Cruzado?
Um produto vetorial ou o produto vetorial de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o seno do ângulo subtendido por um sobre o outro.
É representado como:
A×Β = |A| |B| sen θ
O resultado é outra quantidade vetorial. O vetor resultante é perpendicular a ambos os vetores. Sua direção pode ser determinada usando a regra da mão direita.
As seguintes regras devem ser mantidas em mente calculando o produto vetorial:
- Eu × j = k
- J × k = eu
- K × I = j
I, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
O produto vetorial tem as seguintes propriedades:
- É anticomutativo.
a× b = – (b × α)
- Segue a lei distributiva.
a × (b+c) = α × b + α × c
- Segue a lei da multiplicação escalar.
(λα) × (b) = λ (α × b)
Principais diferenças entre produto escalar e produto cruzado
O produto escalar e o produto vetorial permitem cálculos em vetor álgebra. Eles têm diferentes aplicações e diferentes relações matemáticas.
As principais diferenças entre os dois são:
- Se dois vetores são ortogonais, seu produto escalar é zero, enquanto seu produto vetorial é máximo.
- O produto escalar segue a lei comutativa, enquanto o produto vetorial é anticomutativo.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
- https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
Última atualização: 11 de junho de 2023
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Emma Smith possui mestrado em inglês pela Irvine Valley College. Ela é jornalista desde 2002, escrevendo artigos sobre a língua inglesa, esportes e direito. Leia mais sobre mim nela página bio.
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