Difference Between FFT and DFT (With Table)

As tecnologias estão à frente de tudo, os desenvolvimentos no setor da tecnologia permitem que o mundo digital seja cada vez mais eficiente. Os computadores são exemplos em que o sistema pode parecer fácil ou acessível, mas o processamento interno é bastante complexo.

Whatever is visible on the computer or laptop screen is not just directly connected to what a person types; rather it includes several units that help to process the input and convert it into a readable output. 

DSP is the abbreviation of digital signal processing that enables this process of converting the input into readable text or clear visible picture. Every input is some of the other forms of data or information, thus DSP enables this conversion.

Within DSP there are different components of different types that work differently in their unit, there are different tools that help in converting the frequency and signals. Some of them are Fourier transform, Laplace transform, z-transform, etc..    

FFT vs DFT

The difference between FFT and DFT is that FFT enhances the work of DFT. Both of them are part of a Fourier system or transform but their works are different from each other.

Tabela de comparação entre FFT e DFT

Parâmetros de comparaçãoFFTDFT
Formulário completoTransformação rápida de FourierTransformada discreta de Fourier
DefiniçãoThe amalgamation of several computing techniques including DFT.  O algoritmo matemático que transforma o domínio do tempo em componentes do domínio da frequência.
TrabalhosComputação mais rápidaEstabelecendo a relação entre o domínio do tempo e o domínio da frequência
FormuláriosConvolução, medição de tensão, etc.Estimativa de espectro, convicção, etc.
VersãoVersão rápidaVersão discreta

O que é FFT?

Abreviatura de FFT para Fast Fourier transform, é um algoritmo matemático em computadores que permite a aceleração das conversões feitas por DFT (discrete Fourier transform). Isso ajuda a reduzir as complexidades da computação.

FFT é amplamente utilizado no processamento de sinais. Ele reduz o número de cálculos necessários para N pontos 2N2 a N log N, em que LG é um algoritmo de base dois. FFT é classificado em duas categorias; dizimação no tempo e dizimação na frequência. 

O algoritmo FFT funciona de maneira diferente, reorganizando os elementos de entrada em ordem invertida de bits e, em seguida, constrói a transformação de saída (decimação no tempo). O trabalho básico é quebrar uma transformada de comprimento N em duas transformadas de comprimento N / 2.

FFT is an algorithm was discussed by Cooley and Turkey in 1965 but the critical factorization of this algorithm is described by Gauss in 1805 which is by Cooley and Tukey. Gauss described the factorisation step by step.

O funcionamento do FFT pode ser explicado por meio de exemplos; se uma operação leva 1 nanossegundo, a transformação rápida de Fourier reduzirá o tempo para 30 segundos, calculando a transformada discreta de Fourier para o tamanho do problema N = 10 * 9.

No jargão da ciência da computação, a transformada rápida de Fourier (FFT) reduz o número de cálculos necessários para o tamanho do problema N. Em poucas palavras, a transformada rápida de Fourier é um algoritmo matemático que é usado para cálculo rápido e eficiente da transformada discreta de Fourier (DFT). 

A transformada rápida de Fourier (FFT) é útil para redução de tempo em cálculos feitos por DFT e a eficiência de FFT é visível em engenharia de som, sismologia ou medição de tensão.

O que é DFT?

DFT é uma abreviatura de Discrete Fourier transform, é um algoritmo matemático que ajuda no processamento dos sinais digitais calculando o espectro de um sinal de duração finita. 

O DFT funciona transformando N amostras de tempo discreto para o mesmo número de amostras de frequência discreta. Em algumas aplicações, a forma do domínio do tempo não é aplicável para sinais, caso em que o conteúdo da frequência do sinal se torna muito útil.

O outro tipo de DFT é IDFT, que significa transformada discreta inversa de Fourier, embora funcione de maneira bastante semelhante à de DFT, pois também transforma N amostras de frequência discreta para o mesmo número de amostras de tempo discreto.

Existem várias circunstâncias em que o conteúdo da frequência de um sinal no domínio do tempo. O DFT funciona em aplicações como osciladores LC para ver quanto ruído está presente em uma onda senoidal produzida. Além da estimativa de espectro, o DFT tem várias outras aplicações em DSP, por exemplo, convolução rápida.

Algumas das propriedades do DFT são: -

  1. Linearidade - de acordo com a linearidade DFT de uma combinação de sinais é igual à soma dos sinais individuais.
  2. Dualidade - existe um teorema é usado para encontrar a sequência de duração finita, o teorema usado é; X (N) ⟷Nx [((- k)) N]. 

Existem outras propriedades do DFT, que inclui; propriedades conjugadas complexas, mudança de frequência circular, multiplicação de duas sequências, teorema de Parseval e simetria.

A DFT ou a transformada discreta de Fourier funciona transformando os sinais do domínio do tempo em componentes do domínio da frequência, visto que a representação dos sinais digitais em termos de seu componente de frequência é importante no domínio da frequência.

Este é um exame direto da informação codificada na fase de frequência e na amplitude do componente sinusóide. Por exemplo, a fala humana e a audição usam sinais para esses tipos de codificação; além disso, o DFT pode encontrar a resposta de frequência do sistema a partir da resposta ao impulso do sistema e vice-versa.

Principais diferenças entre FFT e DFT

  1. FFT significa transformada rápida de Fourier, por outro lado, DFT significa transformada discreta de Fourier.
  2. FFT é uma versão muito eficiente e rápida da transformada de Fourier, enquanto DFT é uma versão discreta da transformada de Fourier.
  3. FFT é útil em engenharia de som, sismologia, etc., ao contrário, DFT é útil em estimativa de espectro, convolução, etc.
  4. FFT é uma implementação de DFT enquanto DFT estabelece uma relação entre o domínio do tempo e a representação do domínio da frequência.
  5. DFT é um algoritmo matemático que transforma sinais no domínio do tempo em componentes do domínio da frequência. Por outro lado, o algoritmo FFT consiste em várias técnicas de computação, incluindo DFT.

Conclusão

Ambos FFT e DFT são importantes para técnicas de computação e desempenham um papel importante nas conversões.

FFT e DFT fazem parte do DSP. FFT também funciona para DFT.                     

Referências

  1. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/115105/
  2. https://www.researchgate.net/profile/Levent_Sevgi/publication/3305825_Numerical_fourier_transforms_DFT_and_FFT/links/5ad4d519a6fdcc2935809380/Numerical-fourier-transforms-DFT-and-FFT.pdf