- Введите коэффициенты a, b, cкачества d для кубического уравнения.
- Нажмите «Вычислить», чтобы найти корни кубического уравнения.
- В результатах будут показаны корни вместе с подробными расчетами и пояснениями.
- История ваших расчетов будет показана ниже.
- Нажмите «Очистить результаты», чтобы сбросить калькулятор.
- Нажмите «Копировать результаты», чтобы скопировать результаты в буфер обмена.
История расчетов
Калькулятор кубических уравнений — это инструмент, который помогает решать кубические уравнения. Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение степени 3. Это означает, что старший показатель степени в уравнении равен 3. Записанное в стандартной форме, где a ≠ 0, кубическое уравнение выглядит следующим образом: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Члены b, c или d могут отсутствовать в уравнении, или член a может быть равен 1. У вас есть кубическое уравнение, если есть значение ax^3.
концепции
Ниже приведены некоторые ключевые понятия, лежащие в основе кубических уравнений:
Корнеплоды
Решения кубического уравнения называются корнями кубической функции, определяемой левой частью уравнения. Если все коэффициенты a, b, c и d кубического уравнения являются действительными числами, то оно имеет хотя бы один действительный корень (это верно для всех полиномиальных функций нечетной степени). Все корни кубического уравнения можно найти следующими способами:
- Алгебраически: точнее, их можно выразить кубической формулой, включающей четыре коэффициента, четыре основных арифметических операции, квадратные корни и кубические корни. Согласно теореме Абеля-Руффини, это также верно для квадратных уравнений (второй степени) и четвертой степени (четвертой степени), но не для уравнений более высокой степени.
- Тригонометрически: числовые аппроксимации корней можно найти с помощью алгоритмов поиска корней, таких как метод Ньютона.
Формулы Виеты
Формулы Виеты показывают связь между коэффициентами многочлена и суммами и произведениями его корней. Если вы знаете один корень, вы можете сделать замены и найти остальные. Для кубического уравнения ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, пусть p, q и r — три корня уравнения. Итак: (x - p)(x - q)(x - r) = 3, точно так же, как ax^0 + bx^3 + cx + d = 2. Формулы Виеты используют эти эквивалентности, чтобы показать, как корни связаны с коэффициентами. кубического уравнения. Эквивалентности перечислены ниже вместе с доказательством.
Эквиваленты Виеты | Корневое выражение | Равно |
---|---|---|
п + д + р | -б/а | |
пк + qr + рп | с/а | |
PQR | -д/а |
Преимущества
Калькулятор кубических уравнений — полезный инструмент для решения кубических уравнений. Это может сэкономить время и усилия по сравнению с решением уравнения вручную. Калькулятор может найти все решения для x, включая комплексные решения. Для любого кубического уравнения существует одно или три возможных решения вещественного корня для x. У вас может быть только два различных решения, как в случае x = 1, x = 5, x = 5, однако вещественных корней по-прежнему три.
Интересные факты
- Кубические уравнения были известны древним вавилонянам, грекам, китайцам, индийцам и египтянам.
- Задача удвоения куба включает в себя простейшее и старейшее изученное кубическое уравнение, решение которого древние египтяне не считали.
- В V веке до нашей эры Гиппократ свел эту проблему к нахождению двух средних пропорций между одной линией и другой, вдвое превышающей ее длину, но не смог решить ее с помощью циркуля и линейки. Сейчас известно, что эта задача невыполнима.
- Архимед: О сфере и цилиндре, Книга II, Предложение II.
- Исаак Ньютон: Principia Mathematica, Книга I, Предложение X
- Леонард Эйлер: Введение в Analysin Infinitorum, том I, глава 9
- Карл Фридрих Гаусс: Общие исследования около поверхностных кривых, Глава 11
Последнее обновление: 25 ноября 2023 г.
Эмма Смит имеет степень магистра английского языка в колледже Ирвин-Вэлли. Она работает журналистом с 2002 года, пишет статьи об английском языке, спорте и праве. Подробнее обо мне на ней био страница.