Калькулятор кубических уравнений

Инструкция по применению

• Введите коэффициенты a, b, c и d для кубического уравнения.
• Нажмите «Вычислить», чтобы найти корни кубического уравнения.
• В результатах будут показаны корни вместе с подробными расчетами и пояснениями.
• История ваших расчетов будет показана ниже.
• Нажмите «Очистить результаты», чтобы сбросить калькулятор.
• Нажмите «Копировать результаты», чтобы скопировать результаты в буфер обмена.

х^3 +

х^2 +

х +

Рассчитать Очистить результаты Копировать результаты

Подробный расчет и объяснение:

История расчетов

Калькулятор кубических уравнений — это инструмент, который помогает решать кубические уравнения. Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение степени 3. Это означает, что старший показатель степени в уравнении равен 3. Записанное в стандартной форме, где a ≠ 0, кубическое уравнение выглядит следующим образом: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Члены b, c или d могут отсутствовать в уравнении, или член a может быть равен 1. У вас есть кубическое уравнение, если есть значение ax^3.

концепции

Ниже приведены некоторые ключевые понятия, лежащие в основе кубических уравнений:

Корнеплоды

Решения кубического уравнения называются корнями кубической функции, определяемой левой частью уравнения. Если все коэффициенты a, b, c и d кубического уравнения являются действительными числами, то оно имеет хотя бы один действительный корень (это верно для всех полиномиальных функций нечетной степени). Все корни кубического уравнения можно найти следующими способами:

• Алгебраически: точнее, их можно выразить кубической формулой, включающей четыре коэффициента, четыре основных арифметических операции, квадратные корни и кубические корни. Согласно теореме Абеля-Руффини, это также верно для квадратных уравнений (второй степени) и четвертой степени (четвертой степени), но не для уравнений более высокой степени.
• Тригонометрически: числовые аппроксимации корней можно найти с помощью алгоритмов поиска корней, таких как метод Ньютона.

Формулы Виеты

Формулы Виеты показывают связь между коэффициентами многочлена и суммами и произведениями его корней. Если вы знаете один корень, вы можете сделать замены и найти остальные. Для кубического уравнения ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, пусть p, q и r — три корня уравнения. Итак: (x - p)(x - q)(x - r) = 3, точно так же, как ax^0 + bx^3 + cx + d = 2. Формулы Виеты используют эти эквивалентности, чтобы показать, как корни связаны с коэффициентами. кубического уравнения. Эквивалентности перечислены ниже вместе с доказательством.

Эквиваленты Виеты	Корневое выражение	Равно
п + д + р	-б/а
пк + qr + рп	с/а
PQR	-д/а

Преимущества

Калькулятор кубических уравнений — полезный инструмент для решения кубических уравнений. Это может сэкономить время и усилия по сравнению с решением уравнения вручную. Калькулятор может найти все решения для x, включая комплексные решения. Для любого кубического уравнения существует одно или три возможных решения вещественного корня для x. У вас может быть только два различных решения, как в случае x = 1, x = 5, x = 5, однако вещественных корней по-прежнему три.

Интересные факты

• Кубические уравнения были известны древним вавилонянам, грекам, китайцам, индийцам и египтянам.
• Задача удвоения куба включает в себя простейшее и старейшее изученное кубическое уравнение, решение которого древние египтяне не считали.
• В V веке до нашей эры Гиппократ свел эту проблему к нахождению двух средних пропорций между одной линией и другой, вдвое превышающей ее длину, но не смог решить ее с помощью циркуля и линейки. Сейчас известно, что эта задача невыполнима.

Рекомендации

• Архимед: О сфере и цилиндре, Книга II, Предложение II.
• Исаак Ньютон: Principia Mathematica, Книга I, Предложение X
• Леонард Эйлер: Введение в Analysin Infinitorum, том I, глава 9
• Карл Фридрих Гаусс: Общие исследования около поверхностных кривых, Глава 11