Парабола против гиперболы: разница и сравнение

Коническое сечение – это кривая, полученная при пересечении плоскостью конуса под определенным углом. Есть три конических сечения – эллипс, парабола и гипербола.

Эллипс — это плоская кривая с двумя фокальными точками, напоминающими окружность. Однако парабола и гипербола путают сечения.

Основные выводы

1. Параболы представляют собой U-образные кривые, представляющие квадратичные функции, с одной осью симметрии и одной вершиной.
2. Гипербола состоит из двух отдельных кривых, представляющих точки с постоянной разностью расстояний между двумя фокусами.
3. И параболы, и гиперболы представляют собой конические сечения, но они демонстрируют разные формы и математические свойства: параболы имеют одну ветвь, а гиперболы - две ветви.

Парабола против гиперболы

Парабола – это U-образная кривая, симметричная относительно своей оси. Напротив, гипербола — это тип кривой, который имеет две ветви, которые открываются вверх или вниз и симметричны относительно их центральной точки. В математике они представлены разными уравнения и имеют разные свойства.

Парабола — это одна незамкнутая кривая, уходящая в бесконечность. Он имеет U-образную форму и имеет один фокус и одну директрису.

Гипербола – это незамкнутая кривая, имеющая две несоединенные ветви. Имеет два фокуса и две директрисы, по одной на каждую Ед. изм.

---

 

Сравнительная таблица

Параметр сравнения	Парабола	гипербола
Определение	Парабола — это геометрическое место точек, находящихся на равном расстоянии от фокуса и директрисы.	Гипербола — это геометрическое место точек с постоянной разницей между двумя фокусами.
Форма	Парабола — это незамкнутая кривая, имеющая один фокус и одну директрису.	Гипербола представляет собой незамкнутую кривую с двумя ветвями, двумя фокусами и двумя направляющими.
эксцентричность	Неотрицательный эксцентриситет параболы равен единице.	Неотрицательный эксцентриситет e гиперболы значительнее единицы.
Пересечение плоскости	Пересечение плоскости параллельно (идеальный случай) наклонной высоте конуса.	Пересечение плоскости параллельно (идеальный случай) перпендикулярной высоте двойного конуса.
Общее уравнение	Общее уравнение параболы: y = ax², a ≠ 0	Общее уравнение гиперболы: x²/a² – y²/b² = 1.

---

 

Что такое Парабола?

Парабола - это геометрическое место всех точек, равноудаленных от точки и прямой. Эта точка называется фокусом, а эта линия – директрисой.

Парабола образуется, когда плоскость пересекает конус в направлении, параллельном (идеальный случай) его наклону. высота.

Общее уравнение параболы записывается как

у = ах², а ≠ 0

Значение a определяет форму кривой.

Если а > 0, то устье параболы открывается вверх.

Если а < 0, устье параболы открывается вниз.

Фокус этой параболы находится в (0, 1/4a). Директриса (-1/4a).

Однако, когда a=1, парабола называется единичной параболой.

Парабола имеет эксцентриситет, равный единице.

Парабола симметрична относительно своей оси. На бесконечном расстоянии кривые выглядят как параллельные линии.

 

Что такое Гипербола?

Гипербола — это геометрическое место всех точек с постоянной разницей между двумя различными точками. Эти точки называются фокусами гиперболы.

Гипербола образуется, когда твердая плоскость пересекает конус в направлении, параллельном его перпендикулярной высоте.

Общее уравнение гиперболы имеет вид

(x-α)²/a² – (y-β)²/b² = 1

Фокусы вышеуказанной гиперболы равны (α ± sqrt(a²+b²), β).

Вершины равны (±a, β).

Гипербола имеет эксцентриситет больше единицы.

Гипербола имеет две оси симметрии. Это поперечная ось и сопряженная ось.

---

Основные различия между параболой и гиперболой

Парабола и гипербола являются коническими сечениями. Они имеют разные формы и свойства.

Основные различия между ними:

1. Парабола — это геометрическое место всех точек, находящихся на равном расстоянии от фокуса и директрисы. С другой стороны, гипербола — это место всех точек, для которых разница в расстоянии между двумя фокусами постоянна.
2. Парабола — это незамкнутая кривая с одним фокусом и директрисой, тогда как гипербола — это незамкнутая кривая с двумя ветвями с двумя фокусами и директрисами.
3. Эксцентриситет параболы равен единице, тогда как эксцентриситет гиперболы больше единицы.
4. Парабола образуется, когда плоскость пересекает конус по его наклонной высоте. С другой стороны, гипербола образуется, когда плоскость пересекает конус по его перпендикулярной высоте.
5. Уравнение параболы: y = ax². С другой стороны, уравнение для гиперболы x²/a² – y²/b² = 1.

---

Рекомендации

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ao-54-24-7148
2. https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/68/4/537/449711