Калькулятор скалярного произведения

Инструкция по применению

• Введите векторы A и B и выберите операцию.
• Нажмите «Рассчитать», чтобы выполнить расчет.
• Просмотрите результат, детали расчета и историю ниже.
• Нажмите «Очистить», чтобы сбросить входные данные и результаты.
• Нажмите «Копировать», чтобы скопировать результат в буфер обмена.

Вектор А:

Вектор Б:

Выберите операцию: Скалярное произведение Перекрестный продукт

Рассчитать Сбросить Копировать

Результат:

Детали расчета:

История расчетов:

Калькулятор скалярного произведения — это инструмент, который вычисляет скалярное произведение двух векторов. Это фундаментальный способ объединения двух векторов, который широко используется в математике, физике и технике.

концепции

Скалярное произведение — это алгебраическая операция, которая принимает две последовательности чисел одинаковой длины, координатные векторы и возвращает одно число. Оно также известно как скалярное произведение. Скалярное произведение измеряет относительное направление двух векторов. Это говорит нам кое-что о том, насколько два вектора направлены в одном направлении.

Формулы

Мы пишем скалярное произведение с маленькой точкой ⋅ между двумя векторами (произносится как «точка b»):

а → ⋅ б → знак равно ‖ а → ‖ ‖ б → ‖ потому что ( θ)

Если мы разложим это по факторам, первые два будут ‖ a → ‖ и ‖ b → ‖. Это величины a → и b →, поэтому скалярное произведение учитывает длину векторов. Последний множитель — cos ( θ), где θ — угол между a → и b →. Это говорит нам о том, что скалярное произведение связано с направлением. В частности, когда θ = 0, два вектора указывают в одном направлении. Не учитывая величины векторов, это когда скалярное произведение максимально, потому что cos (0) = 1. В общем, чем больше двух векторов направлены в одном направлении, тем больше будет скалярное произведение между ними.

Другой способ представить θ — представить, что один вектор отбрасывает тень на другой. Когда угол мал, тень падает далеко от начала координат, и скалярное произведение велико. Когда θ близко к π/2, тень располагается близко к началу координат, а скалярное произведение мало.

Когда нам нужно найти скалярное произведение в исчислении с несколькими переменными, у нас есть только координаты a → и b →. Вычисление ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ) заставило бы нас найти два квадратных корня и косинус, а это большая работа! К счастью, есть более простой способ. Просто умножьте соответствующие компоненты, а затем добавьте:

а → знак равно ( а 1, а 2, а 3) б → знак равно ( б 1, б 2, б 3) а → ⋅ б → знак равно а 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3

Эта формула распространяется на векторы любой длины.

Преимущества

Скалярное произведение имеет много преимуществ. Он используется в физике для расчета работы, совершаемой силой, в компьютерной графике для расчета освещения и затенения, а в машинном обучении для расчета сходства между векторами. Он также используется в технике для расчета крутящего момента на валу и в навигации для расчета расстояния между двумя точками.

Интересные факты

• Скалярное произведение коммутативно, что означает, что a → ⋅ b → = b → ⋅ a →.
• Скалярное произведение является дистрибутивным, то есть a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c →.
• Скалярное произведение не является ассоциативным, то есть a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) ≠ ( a → ⋅ b → ) ⋅ c →.

Последнее обновление: 11 декабря 2023 г.