Аритметика против геометријске секвенце: разлика и поређење

Аритметички низови укључују константну разлику између узастопних појмова, док геометријски низови укључују константан однос између узастопних појмова.

Кључне Такеаваис

1. Аритметички низ је низ у коме се сваки термин добија додавањем константе претходном термину.
2. Геометријски низ је низ у коме се сваки члан добија множењем константе са претходним чланом.
3. Аритметички низ се користи за моделирање линеарних односа, док се геометријски низ користи за моделирање експоненцијалних односа.

Аритметика против геометријске секвенце

Варијација између чланова аритметичког низа је линеарна, док је варијација у елементима геометријског низа експоненцијална. Бесконачни аритметички низ се разилази; с друге стране, бесконачни геометријски низови конвергирају или дивергирају, у зависности од ситуације.

Разлика између два узастопна члана у аритметичком низу је уобичајена. С друге стране, однос два узастопна члана у геометријском низу се назива стандардним односом.

Упоредна табела

одлика	Аритметичка секвенца	Геометријски низ
Дефиниција	Секвенца у којој се сваки термин добија додавањем константне вредности (заједничка разлика) претходном термину.	Низ у коме се сваки члан добија множењем претходног члана са константном вредношћу (уобичајени однос).
Формула	а_н = а_1 + д(н-1)	а_н = а_1 * р^(н-1)
Кључна карактеристика	Константна разлика између појмова.	Константан однос између појмова.
Понашање	Појмови се повећавају или смањују за константну вредност.	Термини се експоненцијално повећавају или смањују.
Збир првих н чланова	С_н = н/2 * (а_1 + а_н)	С_н = а_1 * (1-р^н) / (1-р)
Примери	2, 5, 8, 11, 14, …	2, 6, 18, 54, 162, …
aplikacije	Финансијски прорачуни, раст становништва, физика (падајући објекти), теорија музике	Сложена камата, експоненцијално распадање, раст популације, геометријски облици

Шта је аритметички низ?

Аритметички низ је низ бројева где је сваки члан добијено додавањем константне вредности (назива заједничка разлика) до претходног рока. То је специфичан тип секвенце са предвидљивим понашањем и применама у различитим областима.

Ево поделе његових кључних карактеристика:

Дефиниција:

• Уређена листа бројева по којима се добија сваки појам додајући исти број (заједничку разлику) претходном појму.

Формула:

• а_н = а_1 + д(н-1)
  • а_н: н-ти члан низа.
  • а_1: први члан низа.
  • г: заједничка разлика.
  • н: позиција појма у низу.

Кључна карактеристика:

• Константна заједничка разлика: Сваки термин се разликује од претходног по истој константној вредности, одређујући прогресију низа.

ponašanje:

• Линеарна прогресија: Услови повећање или смањење константном вредношћу (д).
• Предвидљиви образац: Због константне разлике, термини низа су лако предвидљиви и могу се израчунати помоћу формуле.

Збир првих н чланова:

• С_н = н/2 * (а_1 + а_н)
  • С_н: збир првих н чланова.
  • н: број појмова.
  • а_1: први термин.
  • а_н: н-ти члан.

Примери:

• 2, 5, 8, 11, 14, … (уобичајена разлика од 3)
• -10, -7, -4, -1, 2, … (уобичајена разлика од 3)
• 3, 7, 11, 15, 19, … (уобичајена разлика од 4)

Примена:

• Финансије: Израчунавање сложене камате, отплате кредита и будућих вредности.
• Физика: Анализирање падајућих објеката, кретања пројектила и једноставног хармонијског кретања.
• Музичка теорија: Разумевање интервала и скала.
• Раст популације: Моделирање линеарног раста становништва током времена.

Шта је геометријска секвенца?

Геометријски низ је низ бројева где је сваки појам добијено множењем претходног члана константном вредношћу (назива заједнички однос). То је специфичан тип секвенце са карактеристичним карактеристикама и применама у бројним областима.

Ево анализе његових кључних карактеристика:

Дефиниција:

• Уређена листа бројева где је однос између појмова заснива се на сталном множењу.
• Сваки појам се добија по множење претходног члана са фиксним бројем (уобичајени однос).

Формула:

• а_н = а_1 * р^(н-1)
  • а_н: н-ти члан низа.
  • а_1: први члан низа.
  • р: заједнички однос.
  • н: позиција појма у низу.

Кључна карактеристика:

• Константни заједнички однос: Низ напредује множењем сваког члана са истом константном вредношћу (р), одређујући његов раст или распадање.

ponašanje:

• Експоненцијални раст или пропадање: У зависности од вредности заједничког односа, чланови низа могу експоненцијално да се повећавају или смањују.
• Брза промена: У поређењу са аритметичким низовима, геометријски низови доживљавају бржу брзину промене како секвенца напредује.

Конвергенција или дивергенција:

• Геометријски низ конвергира ако је апсолутна вредност заједничког односа мања од 1.
• Одступа ако је апсолутна вредност заједничког односа већа или једнака 1.

Збир првих н чланова:

• С_н = а_1 * (1-р^н) / (1-р)
  • С_н: збир првих н чланова.
  • н: број појмова.
  • а_1: први термин.
  • р: заједнички однос.

Примери:

• 2, 6, 18, 54, 162, … (уобичајени однос 3)
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3, 9, -27, 81, -243, … (уобичајени однос -3)

Примена:

• Финансије: Израчунавање сложене камате, модела експоненцијалног раста и амортизације.
• Наука: Моделирање радиоактивног распада, раста популације са ограниченим ресурсима и геометријских облика.
• Музичка теорија: Разумевање интервала и логаритма везаних за висину тона.
• Криптографија: Имплементација алгоритама за шифровање заснованих на модуларној аритметици.

Главне разлике између аритметичког и геометријског низа

1. Образац прогресије:
   • Аритметички низ: Сваки термин у аритметичком низу се добија додавањем фиксне константе (назване „заједничка разлика“) претходном термину, што резултира линеарном прогресијом.
   • Геометријска секвенца: Сваки термин у геометријском низу се добија множењем претходног члана са фиксном константом (која се назива „уобичајени однос“), што резултира експоненцијалном прогресијом.
2. Формула:
   • Аритметички низ: Општа формула за аритметички низ је ан = а1 + (н – 1) * д, где ан представља н-ти члан, а1 је први члан, а д је заједничка разлика.
   • Геометријски низ: Општа формула за геометријски низ је ан = а1 * р^(н – 1), где ан представља н-ти члан, а1 је први члан, а р је заједнички однос.
3. Стопа промене:
   • Аритметички низ: Стопа промене између узастопних појмова је константна и једнака заједничкој разлици (д).
   • Геометријска секвенца: Стопа промене између узастопних чланова је константна и једнака заједничком односу (р).
4. Пример напредовања:
   • Аритметички низ: Пример аритметичког низа је 2, 4, 6, 8, 10, …, где је заједничка разлика (д) 2.
   • Геометријски низ: Пример геометријског низа је 3, 6, 12, 24, 48, …, где је заједнички однос (р) 2.
5. Природа услова:
   • Аритметички низ: Термини у аритметичком низу представљају количине које се повећавају или смањују за фиксни износ са сваким чланом.
   • Геометријски низ: Термини у геометријском низу представљају количине које расту или се смањују за фиксну пропорцију са сваким појмом.
6. Збир услова:
   • Аритметички низ: Збир првих н чланова аритметичког низа може се израчунати помоћу формуле Сн = (н/2) * [2 * а1 + (н – 1) * д], где је Сн збир, н је број чланова, а1 је први члан, а д је заједничка разлика.
   • Геометријски низ: Збир првих н чланова геометријског низа може се израчунати помоћу формуле Сн = (а1 * (1 – р^н)) / (1 – р), где је Сн збир, н број од чланова, а1 је први члан, а р је заједнички однос.

Референце

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf

Последње ажурирање: 11. децембра 2023