เครื่องคำนวณสมการลูกบาศก์

คำแนะนำ:

• ป้อนค่าสัมประสิทธิ์ a, b, cและ d สำหรับสมการลูกบาศก์
• คลิก "คำนวณ" เพื่อค้นหารากของสมการลูกบาศก์
• ผลลัพธ์จะแสดงรากพร้อมกับการคำนวณและคำอธิบายโดยละเอียด
• ประวัติการคำนวณของคุณจะแสดงด้านล่าง
• คลิก "ล้างผลลัพธ์" เพื่อรีเซ็ตเครื่องคิดเลข
• คลิก "คัดลอกผลลัพธ์" เพื่อคัดลอกผลลัพธ์ไปยังคลิปบอร์ด

x^3 +

x^2 +

x +

คำนวณ ล้างผลลัพธ์ คัดลอกผลลัพธ์

การคำนวณและคำอธิบายโดยละเอียด:

ประวัติการคำนวณ

เครื่องคำนวณสมการลูกบาศก์เป็นเครื่องมือที่ช่วยแก้สมการลูกบาศก์ สมการลูกบาศก์คือสมการพีชคณิตที่มีระดับ 3 ซึ่งหมายความว่าเลขชี้กำลังสูงสุดของสมการคือ 3 เขียนในรูปแบบมาตรฐาน โดยที่ ≠ 0 สมการลูกบาศก์มีลักษณะดังนี้: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 พจน์ b, c หรือ d อาจหายไปจากสมการ หรือพจน์ a อาจเป็น 1 คุณมีสมการกำลังสามตราบใดที่มีค่า ax^3

แนวคิด

ต่อไปนี้เป็นแนวคิดสำคัญบางส่วนที่ใช้รองรับสมการกำลังสาม:

ราก

ผลเฉลยของสมการลูกบาศก์เรียกว่ารากของฟังก์ชันลูกบาศก์ซึ่งกำหนดทางด้านซ้ายของสมการ ถ้าสัมประสิทธิ์ a, b, c และ d ทั้งหมดของสมการลูกบาศก์เป็นจำนวนจริง ก็แสดงว่ามันต้องมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก (ซึ่งเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันพหุนามดีกรีคี่ทั้งหมด) รากทั้งหมดของสมการกำลังสามหาได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• ในทางพีชคณิต: แม่นยำยิ่งขึ้น สามารถแสดงได้ด้วยสูตรลูกบาศก์ที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์สี่ตัว การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่ประการ รากที่สอง และรากที่สาม สิ่งนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสอง (ระดับสอง) และสมการกำลังสอง (ระดับที่สี่) ด้วย แต่ไม่ใช่สำหรับสมการระดับสูงกว่าตามทฤษฎีบทอาเบล–รัฟฟินี
• ตรีโกณมิติ: การประมาณรากเชิงตัวเลขสามารถพบได้โดยใช้อัลกอริธึมการค้นหาราก เช่น วิธีของนิวตัน

สูตรของ Vieta

สูตรของเวียตาแสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของพหุนามกับผลรวมและผลคูณของราก หากคุณรู้รากหนึ่ง คุณสามารถทำการแทนที่และหารากที่เหลือได้ สำหรับสมการลูกบาศก์ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ให้ p, q และ r เป็นรากที่ 3 ของสมการ ดังนั้น: (x − p)(x − q)(x − r) = 0 เช่นเดียวกับ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 สูตรของเวียตาใช้ความเท่าเทียมกันเหล่านี้เพื่อแสดงว่ารากสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์อย่างไร ของสมการลูกบาศก์ ความเทียบเท่าแสดงอยู่ด้านล่างพร้อมกับหลักฐาน

ค่าเทียบเท่าของ Vieta	การแสดงออกของราก	เท่ากับ
พี + คิว + อาร์	-ข/ก
pq + qr + rp	ค/a
PQR	-d/ก

ประโยชน์

เครื่องคำนวณสมการลูกบาศก์เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการแก้สมการลูกบาศก์ สามารถประหยัดเวลาและความพยายามเมื่อเทียบกับการแก้สมการด้วยมือ เครื่องคิดเลขสามารถค้นหาคำตอบทั้งหมดสำหรับ x รวมถึงคำตอบที่ซับซ้อนด้วย มีวิธีแก้รากจำนวนจริงที่เป็นไปได้หนึ่งหรือสามคำตอบสำหรับ x สำหรับสมการกำลังสามใดๆ คุณอาจมีวิธีแก้ที่แตกต่างกันเพียงสองคำตอบเท่านั้น เช่นในกรณี x = 1, x = 5, x = 5 อย่างไรก็ตาม ยังมีรากที่แท้จริงสามข้ออยู่

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ

• สมการลูกบาศก์เป็นที่รู้จักของชาวบาบิโลนโบราณ ชาวกรีก จีน อินเดีย และอียิปต์
• ปัญหาการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าเกี่ยวข้องกับสมการลูกบาศก์ที่ศึกษาง่ายและเก่าแก่ที่สุด และสมการหนึ่งที่ชาวอียิปต์โบราณไม่เชื่อว่ามีวิธีแก้
• ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ฮิปโปเครติสลดปัญหานี้ลงโดยหาสัดส่วนเฉลี่ยสองค่าระหว่างเส้นหนึ่งกับอีกเส้นหนึ่งเป็นสองเท่าของความยาว แต่ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ด้วยการสร้างวงเวียนและเส้นตรง งานนี้รู้กันว่าเป็นไปไม่ได้แล้ว

อ้างอิง

• อาร์คิมีดีส: บนทรงกลมและทรงกระบอก เล่ม 2 ข้อเสนอ 2
• ไอแซก นิวตัน: Principia Mathematica, เล่ม 1, ข้อเสนอที่ X
• Leonhard Euler: บทนำใน Analysin Infinitorum เล่มที่ 9 บทที่ XNUMX
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, บทที่ 11

อัพเดตล่าสุด : 25 พฤศจิกายน 2023