Арифметична проти геометричної послідовності: різниця та порівняння

Арифметичні послідовності включають постійну різницю між послідовними членами, тоді як геометричні послідовності включають постійне співвідношення між послідовними членами.

Ключові винесення

1. Арифметична послідовність — це послідовність, у якій кожен член отримується додаванням константи до попереднього члена.
2. Геометрична послідовність — це послідовність, у якій кожен член отримується шляхом множення константи на попередній член.
3. Арифметична послідовність використовується для моделювання лінійних залежностей, тоді як геометрична послідовність використовується для моделювання експоненційних залежностей.

Арифметика проти геометричної послідовності

Зміна між членами арифметичної послідовності є лінійною, тоді як зміна елементів геометричної послідовності є експоненціальною. Нескінченна арифметична послідовність розходиться; з іншого боку, нескінченні геометричні послідовності сходяться або розходяться залежно від ситуації.

Різниця між двома послідовними членами в арифметичній послідовності є загальною. З іншого боку, співвідношення двох послідовних членів у геометричній послідовності називають стандартним співвідношенням.

Таблиця порівняння

особливість	Арифметична послідовність	Геометрична послідовність
Визначення	Послідовність, у якій кожен член отримується додаванням постійного значення (загальної різниці) до попереднього члена.	Послідовність, у якій кожен член отримується шляхом множення попереднього члена на постійне значення (загальне співвідношення).
Formula	a_n = a_1 + d(n-1)	a_n = a_1 * r^(n-1)
Ключова характеристика	Постійна різниця між термінами.	Постійне співвідношення між доданками.
Поведінка	Доданки збільшуються або зменшуються на постійну величину.	Терміни збільшуються або зменшуються експоненціально.
Сума перших n доданків	S_n = n/2 * (a_1 + a_n)	S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
прикладів	2, 5, 8, 11, 14, …	2, 6, 18, 54, 162, …
додатків	Фінансові розрахунки, зростання населення, фізика (падаючі предмети), теорія музики	Складні відсотки, експоненціальний спад, ріст населення, геометричні фігури

Що таке арифметична послідовність?

Арифметична послідовність — це послідовність чисел, де є кожен член отримане додаванням постійного значення (називається спільна відмінність) до попереднього терміну. Це певний тип послідовності з передбачуваною поведінкою та застосуванням у різних сферах.

Ось розбивка його основних характеристик:

Визначення:

• Упорядкований список чисел, де кожен термін отримано додавання того самого числа (спільної різниці) до попереднього доданка.

формула:

• a_n = a_1 + d(n-1)
  • a_n: n-й член послідовності.
  • a_1: перший член послідовності.
  • d: спільна відмінність.
  • n: позиція терміна в послідовності.

Ключова характеристика:

• Постійна спільна відмінність: Кожний термін відрізняється від попереднього одним і тим же постійним значенням, що визначає прогрес послідовності.

Поведінка:

• Лінійна прогресія: Умови збільшувати чи зменшувати на постійну величину (d).
• Передбачувана схема: Завдяки постійній різниці члени послідовності легко передбачувані та можуть бути обчислені за допомогою формули.

Сума перших n доданків:

• S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
  • S_n: сума перших n членів.
  • n: кількість термінів.
  • a_1: перший член.
  • a_n: n-й член.

Приклади:

• 2, 5, 8, 11, 14, … (загальна різниця 3)
• -10, -7, -4, -1, 2, … (загальна різниця 3)
• 3, 7, 11, 15, 19, … (загальна різниця 4)

Область застосування:

• Фінанси: Розрахунок складних відсотків, виплати кредиту та майбутньої вартості.
• Фізика: Аналіз падаючих предметів, руху снарядів і простого гармонічного руху.
• Теорія музики: Розуміння інтервалів і шкал.
• Приріст населення: Моделювання лінійного зростання населення з часом.

Що таке геометрична послідовність?

Геометрична послідовність — це послідовність чисел, де є кожен член отриманий множенням попереднього доданка на постійну величину (називається загальне співвідношення). Це особливий тип послідовності з відмінними характеристиками та застосуванням у багатьох сферах.

Ось розбивка його основних функцій:

Визначення:

• Упорядкований список чисел, де Зв'язок між доданками заснована на постійному множенні.
• Кожен термін отримано шляхом множення попереднього члена на фіксоване число (загальне співвідношення).

формула:

• a_n = a_1 * r^(n-1)
  • a_n: n-й член послідовності.
  • a_1: перший член послідовності.
  • r: загальне співвідношення.
  • n: позиція терміна в послідовності.

Ключова характеристика:

• Постійне загальне співвідношення: Послідовність розвивається шляхом множення кожного члена на те саме постійне значення (r), що визначає його зростання або спад.

Поведінка:

• Експоненціальне зростання або спад: Залежно від значення загального відношення члени послідовності можуть експоненціально зростати або зменшуватися.
• Швидка зміна: Порівняно з арифметичними послідовностями геометричні послідовності зазнають швидшої швидкості змін у міру просування послідовності.

Конвергенція або дивергенція:

• Геометрична послідовність збіжна, якщо абсолютне значення загального відношення менше 1.
• Він розходиться, якщо абсолютне значення загального співвідношення більше або дорівнює 1.

Сума перших n доданків:

• S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
  • S_n: сума перших n членів.
  • n: кількість термінів.
  • a_1: перший член.
  • r: загальне співвідношення.

Приклади:

• 2, 6, 18, 54, 162, … (загальне співвідношення 3)
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3, 9, -27, 81, -243, … (загальне співвідношення -3)

Область застосування:

• Фінанси: Розрахунок складних відсотків, моделі експоненційного зростання та амортизації.
• Наука: Моделювання радіоактивного розпаду, зростання населення з обмеженими ресурсами та геометричні фігури.
• Теорія музики: Розуміння інтервалів і логарифмів, пов’язаних з висотою.
• Криптографія: Реалізація алгоритмів шифрування на основі модульної арифметики.

Основні відмінності між арифметичною та геометричною послідовністю

1. Патерн прогресії:
   • Арифметична послідовність: кожен член в арифметичній послідовності отримується шляхом додавання фіксованої константи (званої «загальною різницею») до попереднього члена, що призводить до лінійної прогресії.
   • Геометрична послідовність: кожен член у геометричній послідовності отримується множенням попереднього члена на фіксовану константу (звану «загальним відношенням»), що призводить до експоненціальної прогресії.
2. Formula:
   • Арифметична послідовність: Загальна формула для арифметичної послідовності an = a1 + (n – 1) * d, де an представляє n-й член, a1 – перший член, а d – загальну різницю.
   • Геометрична послідовність: Загальна формула для геометричної послідовності an = a1 * r^(n – 1), де an представляє n-й член, a1 – перший член, а r – загальне відношення.
3. Rate of Change:
   • Арифметична послідовність: Швидкість зміни між послідовними членами постійна і дорівнює загальній різниці (d).
   • Геометрична послідовність: швидкість зміни між послідовними членами є постійною та дорівнює загальному відношенню (r).
4. Приклад прогресії:
   • Арифметична послідовність: прикладом арифметичної послідовності є 2, 4, 6, 8, 10, …, де загальна різниця (d) дорівнює 2.
   • Геометрична послідовність: прикладом геометричної послідовності є 3, 6, 12, 24, 48, …, де загальне співвідношення (r) дорівнює 2.
5. Природа термінів:
   • Арифметична послідовність: Члени в арифметичній послідовності представляють величини, які з кожним членом збільшуються або зменшуються на фіксовану величину.
   • Геометрична послідовність: члени в геометричній послідовності представляють величини, які зростають або зменшуються у фіксованій пропорції з кожним членом.
6. Сума термінів:
   • Арифметична послідовність: суму перших n членів арифметичної послідовності можна обчислити за формулою Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d], де Sn – сума, n – кількість доданків, a1 – перший доданок, d – загальна різниця.
   • Геометрична послідовність: суму перших n членів геометричної послідовності можна обчислити за формулою Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r), де Sn – сума, n – число членів, a1 є першим членом і r є загальним відношенням.

посилання

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf

Останнє оновлення: 11 грудня 2023 р