Máy tính phương trình khối

hướng dẫn:

• Nhập hệ số a, b, cvà d cho phương trình bậc ba.
• Nhấp vào "Tính toán" để tìm nghiệm của phương trình bậc ba.
• Kết quả sẽ hiển thị các nghiệm cùng với các tính toán và giải thích chi tiết.
• Lịch sử tính toán của bạn sẽ được hiển thị bên dưới.
• Nhấp vào "Xóa kết quả" để đặt lại máy tính.
• Nhấp vào "Sao chép kết quả" để sao chép kết quả vào bảng nhớ tạm.

x^3 +

x^2 +

x +

Tính toán Xóa kết quả Sao chép kết quả

Tính toán chi tiết và giải thích:

Lịch sử tính toán

Máy tính phương trình bậc ba là một công cụ giúp giải các phương trình bậc ba. Phương trình bậc ba là một phương trình đại số có bậc bằng 3. Điều này có nghĩa là số mũ cao nhất trong phương trình là 3. Viết ở dạng chuẩn, trong đó a ≠ 0, phương trình bậc ba có dạng như sau: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Các số hạng b, c hoặc d có thể bị thiếu trong phương trình hoặc số hạng a có thể là 1. Bạn có một phương trình bậc ba miễn là có giá trị ax^3.

Các khái niệm

Sau đây là một số khái niệm chính làm nền tảng cho phương trình bậc ba:

Roots

Nghiệm của một phương trình bậc ba được gọi là nghiệm của hàm bậc ba được xác định bởi vế trái của phương trình. Nếu tất cả các hệ số a, b, c và d của phương trình bậc ba là số thực thì nó có ít nhất một nghiệm thực (điều này đúng với tất cả các hàm đa thức bậc lẻ). Tất cả các nghiệm của phương trình bậc ba có thể được tìm thấy bằng các phương pháp sau:

• Về mặt đại số: Chính xác hơn, chúng có thể được biểu thị bằng công thức bậc ba bao gồm bốn hệ số, bốn phép tính số học cơ bản, căn bậc hai và căn bậc ba. Điều này cũng đúng với các phương trình bậc hai (bậc hai) và bậc bốn (bậc bốn), nhưng không đúng với các phương trình bậc cao hơn, theo định lý Abel–Ruffini.
• Lượng giác: Có thể tìm thấy các phép tính gần đúng bằng số của các nghiệm bằng cách sử dụng các thuật toán tìm nghiệm như phương pháp Newton.

Công thức của Vieta

Các công thức của Vieta thể hiện mối quan hệ giữa các hệ số của một đa thức với tổng và tích các nghiệm của nó. Nếu bạn biết một gốc, bạn có thể thay thế và tìm ra những gốc khác. Đối với phương trình bậc ba ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, gọi p, q và r là 3 nghiệm của phương trình. Vì vậy: (x − p)(x − q)(x − r) = 0, giống như ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Công thức của Vieta sử dụng những tương đương này để cho thấy nghiệm liên hệ với các hệ số như thế nào của phương trình bậc ba. Các sự tương đương được liệt kê dưới đây cùng với chứng minh.

Tương đương của Vieta	Biểu thức gốc	equals
p + q + r	-ba
pq + qr + rp	c / a
pqr	-d/a

Các lợi ích

Máy tính phương trình bậc ba là một công cụ hữu ích để giải phương trình bậc ba. Nó có thể tiết kiệm thời gian và công sức so với việc giải phương trình bằng tay. Máy tính có thể tìm được mọi nghiệm của x, kể cả nghiệm phức tạp. Có một hoặc ba nghiệm thực có thể có của x đối với bất kỳ phương trình bậc ba nào. Có thể bạn chỉ có hai nghiệm phân biệt như trong trường hợp x = 1, x = 5, x = 5, tuy nhiên vẫn có ba nghiệm thực.

Sự thật thú vị

• Phương trình bậc ba đã được người Babylon, Hy Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ và Ai Cập cổ đại biết đến.
• Bài toán nhân đôi khối lập phương liên quan đến phương trình bậc ba đơn giản nhất và lâu đời nhất được nghiên cứu, và một phương trình mà người Ai Cập cổ đại không tin là có nghiệm.
• Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, Hippocrates đã giải quyết vấn đề này bằng cách tìm hai tỷ lệ trung bình giữa đường này và đường kia gấp đôi chiều dài của nó, nhưng không thể giải quyết vấn đề này bằng cách xây dựng la bàn và thước thẳng. Nhiệm vụ này bây giờ được biết là không thể.

dự án

• Archimedes: Về hình cầu và hình trụ, Quyển II, Mệnh đề II
• Isaac Newton: Nguyên lý toán học, Quyển I, Mệnh đề X
• Leonhard Euler: Giới thiệu về Analysin Infinitorum, Tập I, Chương 9
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, Chương 11