Số học và chuỗi hình học: Sự khác biệt và so sánh

Chuỗi số học liên quan đến sự khác biệt không đổi giữa các thuật ngữ liên tiếp, trong khi chuỗi hình học liên quan đến tỷ lệ không đổi giữa các thuật ngữ liên tiếp.

Các nội dung chính

1. Dãy số học là một dãy mà mỗi số hạng nhận được bằng cách thêm một hằng số vào số hạng trước đó.
2. Dãy hình học là một dãy mà mỗi số hạng nhận được bằng cách nhân một hằng số với số hạng đứng trước nó.
3. Dãy số học được sử dụng để mô hình hóa các mối quan hệ tuyến tính, trong khi dãy hình học được sử dụng để mô hình hóa các mối quan hệ hàm mũ.

Số học vs Chuỗi hình học

Sự biến đổi giữa các thành viên của một dãy số học là tuyến tính, trong khi sự biến thiên của các phần tử của dãy hình học là theo cấp số nhân. Chuỗi số học vô hạn phân kỳ; mặt khác, các chuỗi hình học vô hạn hội tụ hoặc phân kỳ, tùy thuộc vào tình huống.

Hiệu của hai số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng là phổ biến. Mặt khác, tỷ lệ của hai số hạng liên tiếp trong một dãy hình học được gọi là tỷ lệ chuẩn.

Bảng so sánh

Đặc tính	Chuỗi số học	Trình tự hình học
Định nghĩa	Một chuỗi trong đó mỗi thuật ngữ thu được bằng cách thêm một giá trị không đổi (khác chung) vào thuật ngữ trước đó.	Một chuỗi trong đó mỗi số hạng thu được bằng cách nhân số hạng trước đó với một giá trị không đổi (tỷ lệ chung).
Công thức	a_n = a_1 + d(n-1)	a_n = a_1 * r^(n-1)
Đặc điểm chính	Sự khác biệt liên tục giữa các điều khoản.	Tỷ lệ không đổi giữa các điều khoản.
Hành vi	Các số hạng tăng hoặc giảm một giá trị không đổi.	Các số hạng tăng hoặc giảm theo cấp số nhân.
Tổng của n số hạng đầu tiên	S_n = n/2 * (a_1 + a_n)	S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
Các ví dụ	2, 5, 8, 11, 14,…	2, 6, 18, 54, 162,…
Ứng dụng	Tính toán tài chính, tăng trưởng dân số, vật lý (vật rơi), lý thuyết âm nhạc	Lãi kép, phân rã theo cấp số nhân, tăng trưởng dân số, hình dạng hình học

Dãy số học là gì?

Dãy số học là một dãy số trong đó mỗi số hạng là thu được bằng cách thêm một giá trị không đổi (được gọi là Sự khác biệt chung) đến số hạng trước đó. Đó là một loại trình tự cụ thể với hành vi và ứng dụng có thể dự đoán được trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Dưới đây là bảng phân tích các đặc điểm chính của nó:

Định nghĩa:

• Một danh sách có thứ tự các số trong đó mỗi số hạng thu được bằng cách thêm cùng một số (khác biệt chung) vào thuật ngữ trước.

Công thức:

• a_n = a_1 + d(n-1)
  • a_n: số hạng thứ n của dãy.
  • a_1: số hạng đầu tiên của dãy.
  • d: sự khác biệt chung.
  • n: vị trí của số hạng trong dãy.

Đặc điểm chính:

• Sự khác biệt chung không đổi: Mỗi số hạng khác với số hạng trước đó ở cùng một giá trị không đổi, xác định tiến trình của chuỗi.

Hành vi:

• Tiến triển tuyến tính: Các điều khoản tăng hoặc giảm bằng một giá trị không đổi (d).
• Mô hình dự đoán được: Do sự khác biệt không đổi, các số hạng của dãy có thể dễ dàng dự đoán được và có thể được tính bằng công thức.

Tổng của n số hạng đầu tiên:

• S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
  • S_n: tổng của n số hạng đầu tiên.
  • n: số thuật ngữ.
  • a_1: học kỳ đầu tiên.
  • a_n: học kỳ thứ n.

Ví dụ:

• 2, 5, 8, 11, 14,… (điểm chung của 3)
• -10, -7, -4, -1, 2, … (chênh lệch chung là 3)
• 3, 7, 11, 15, 19,… (điểm chung của 4)

Ứng dụng

• Tài chính: Tính lãi kép, thanh toán khoản vay và giá trị tương lai.
• Vật lý: Phân tích vật rơi, chuyển động của vật phóng và chuyển động điều hòa đơn giản.
• Lý thuyết âm nhạc: Hiểu khoảng và thang đo.
• Tăng trưởng dân số: Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số tuyến tính theo thời gian.

Chuỗi hình học là gì?

Dãy số hình học là một dãy số trong đó mỗi số hạng là thu được bằng cách nhân số hạng trước đó với một giá trị không đổi (được gọi là tỉ lệ thông thường). Đó là một loại trình tự cụ thể với các đặc điểm và ứng dụng đặc biệt trong nhiều lĩnh vực.

Dưới đây là bảng phân tích các tính năng chính của nó:

Định nghĩa:

• Một danh sách có thứ tự các số trong đó mối quan hệ giữa các số hạng dựa trên phép nhân không đổi.
• Mỗi thuật ngữ có được bằng cách nhân số hạng trước với một số cố định (tỷ lệ chung).

Công thức:

• a_n = a_1 * r^(n-1)
  • a_n: số hạng thứ n của dãy.
  • a_1: số hạng đầu tiên của dãy.
  • r: tỷ số chung.
  • n: vị trí của số hạng trong dãy.

Đặc điểm chính:

• Tỷ lệ chung không đổi: Trình tự tiến triển bằng cách nhân mỗi số hạng với cùng một giá trị không đổi (r), xác định sự tăng trưởng hoặc phân rã của nó.

Hành vi:

• Tăng trưởng theo cấp số nhân hoặc phân rã: Tùy thuộc vào giá trị của tỷ lệ chung, các số hạng của dãy có thể tăng hoặc giảm theo cấp số nhân.
• Sự thay đổi nhanh chóng: So với các chuỗi số học, các chuỗi hình học có tốc độ thay đổi nhanh hơn khi chuỗi tiến triển.

Hội tụ hoặc phân kỳ:

• Dãy số hình học hội tụ nếu giá trị tuyệt đối của tỉ số chung nhỏ hơn 1.
• Nó phân kỳ nếu giá trị tuyệt đối của tỷ lệ chung lớn hơn hoặc bằng 1.

Tổng của n số hạng đầu tiên:

• S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
  • S_n: tổng của n số hạng đầu tiên.
  • n: số thuật ngữ.
  • a_1: học kỳ đầu tiên.
  • r: tỷ số chung.

Ví dụ:

• 2, 6, 18, 54, 162,… (tỷ lệ chung là 3)
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3, 9, -27, 81, -243, … (tỷ lệ chung là -3)

Ứng dụng

• Tài chính: Tính lãi kép, mô hình tăng trưởng theo cấp số nhân và khấu hao.
• Khoa học: Mô hình hóa sự phân rã phóng xạ, sự gia tăng dân số với nguồn tài nguyên hạn chế và các hình dạng hình học.
• Lý thuyết âm nhạc: Hiểu các khoảng và logarit liên quan đến cao độ.
• Mật mã học: Thực hiện các thuật toán mã hóa dựa trên số học mô-đun.

Sự khác biệt chính giữa dãy số học và hình học

1. Mô hình tiến triển:
   • Chuỗi số học: Mỗi thuật ngữ trong chuỗi số học thu được bằng cách thêm một hằng số cố định (gọi là “khác chung”) vào thuật ngữ trước đó, dẫn đến một cấp số nhân tuyến tính.
   • Chuỗi hình học: Mỗi thuật ngữ trong chuỗi hình học thu được bằng cách nhân số hạng trước đó với một hằng số cố định (được gọi là “tỷ lệ chung”), dẫn đến một cấp số nhân.
2. Công thức:
   • Dãy số học: Công thức tổng quát của dãy số học là an = a1 + (n – 1) * d, trong đó an đại diện cho số hạng thứ n, a1 là số hạng đầu tiên và d là hiệu chung.
   • Chuỗi hình học: Công thức chung cho chuỗi hình học là an = a1 * r^(n – 1), trong đó an đại diện cho số hạng thứ n, a1 là số hạng đầu tiên và r là tỷ số chung.
3. Rate of Change:
   • Trình tự số học: Tốc độ thay đổi giữa các số hạng liên tiếp không đổi và bằng hiệu chung (d).
   • Dãy số hình học: Tốc độ thay đổi giữa các số hạng liên tiếp không đổi và bằng tỉ số chung (r).
4. Tiến trình ví dụ:
   • Dãy số học: Một ví dụ về dãy số học là 2, 4, 6, 8, 10, …, trong đó hiệu chung (d) là 2.
   • Chuỗi hình học: Một ví dụ về chuỗi hình học là 3, 6, 12, 24, 48, …, trong đó tỷ lệ chung (r) là 2.
5. Bản chất của điều khoản:
   • Chuỗi số học: Các thuật ngữ trong dãy số học biểu thị các đại lượng tăng hoặc giảm một lượng cố định với mỗi thuật ngữ.
   • Chuỗi hình học: Các thuật ngữ trong chuỗi hình học biểu thị các đại lượng tăng hoặc giảm theo một tỷ lệ cố định với mỗi thuật ngữ.
6. Tổng số điều khoản:
   • Chuỗi số học: Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số học có thể được tính bằng công thức Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d], trong đó Sn là tổng, n là số số hạng, a1 là số hạng đầu tiên và d là hiệu chung.
   • Chuỗi hình học: Tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi hình học có thể được tính bằng công thức Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r), trong đó Sn là tổng, n là số trong các số hạng, a1 là số hạng đầu tiên và r là tỉ số chung.

dự án

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf