Kubisk ligningsberegner

Instruktioner:

• Indtast koefficienter a, b, cog d for den kubiske ligning.
• Klik på "Beregn" for at finde rødderne af den kubiske ligning.
• Resultaterne viser rødderne sammen med detaljerede beregninger og forklaringer.
• Din beregningshistorik vil blive vist nedenfor.
• Klik på "Ryd resultater" for at nulstille lommeregneren.
• Klik på "Kopiér resultater" for at kopiere resultaterne til udklipsholderen.

x^3+

x^2+

x +

Beregn Ryd resultater Kopiér resultater

Detaljeret beregning og forklaring:

Beregningshistorie

Cubic Equation Calculator er et værktøj, der hjælper med at løse kubiske ligninger. En kubisk ligning er en algebraisk ligning med graden 3. Det betyder, at den højeste eksponent i ligningen er 3. Skrevet på standardform, hvor a ≠ 0, ser en kubisk ligning således ud: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. B-, c- eller d-leddene mangler muligvis i ligningen, eller a-leddet kan være 1. Du har en kubisk ligning, så længe der er en ax^3-værdi.

begreber

Følgende er nogle af nøglebegreberne, der ligger til grund for kubiske ligninger:

Roots

Løsningerne af en kubisk ligning kaldes rødder af den kubiske funktion defineret af venstre side af ligningen. Hvis alle koefficienterne a, b, c og d i den kubiske ligning er reelle tal, så har den mindst én reel rod (dette er sandt for alle ulige-graders polynomielle funktioner). Alle rødderne til den kubiske ligning kan findes på følgende måde:

• Algebraisk: Mere præcist kan de udtrykkes med en kubisk formel, der involverer de fire koefficienter, de fire grundlæggende aritmetiske operationer, kvadratrødder og terningrødder. Dette gælder også for andengradsligninger (andengrads) og kvartiske (fjerdegrads) ligninger, men ikke for ligninger af højere grad, ifølge Abel-Ruffini-sætningen.
• Trigonometrisk: Numeriske tilnærmelser af rødderne kan findes ved hjælp af rodfindende algoritmer som Newtons metode.

Vietas formler

Vietas formler viser forholdet mellem koefficienterne for et polynomium og summerne og produkterne af dets rødder. Hvis du kender én rod, kan du lave erstatninger og finde ud af de andre. For en kubisk ligning ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, lad p, q og r være ligningens 3 rødder. Altså: (x − p)(x − q)(x − r) = 0, ligesom ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Vietas formler bruger disse ækvivalenser til at vise, hvordan rødderne forholder sig til koefficienterne af den kubiske ligning. Ækvivalenserne er anført nedenfor sammen med beviset.

Vietas ækvivalenter	Rodudtryk	Lig
p + q + r	-b/a
pq + qr + rp	c/a
PQR	-d/a

Fordele

Cubic Equation Calculator er et nyttigt værktøj til at løse kubiske ligninger. Det kan spare tid og kræfter sammenlignet med at løse ligningen i hånden. Lommeregneren kan finde alle løsninger til x, inklusive komplekse løsninger. Der er enten en eller tre mulige reelle rodløsninger for x for enhver kubisk ligning. Du har muligvis kun to forskellige løsninger som i tilfældet x = 1, x = 5, x = 5, men der er stadig tre reelle rødder.

Interessante fakta

• Kubiske ligninger var kendt af de gamle babyloniere, grækere, kinesere, indere og egyptere.
• Problemet med at fordoble kuben involverer den enkleste og ældste undersøgte kubiske ligning, og en som de gamle egyptere ikke troede på, at der fandtes en løsning på.
• I det 5. århundrede f.Kr. reducerede Hippokrates dette problem til at finde to middelproportionaler mellem en linje og en anden to gange dens længde, men kunne ikke løse dette med en kompas- og ligekantkonstruktion. Denne opgave er nu kendt for at være umulig.

Referencer

• Archimedes: Om sfæren og cylinderen, bog II, forslag II
• Isaac Newton: Principia Mathematica, Bog I, Proposition X
• Leonhard Euler: Introductio in Analysin Infinitorum, bind I, kapitel 9
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, kapitel 11

Sidst opdateret: 25. november 2023