Kuupvõrrandi kalkulaator

Juhised:

• Sisestage koefitsiendid a, b, cja d kuupvõrrandi jaoks.
• Kuupvõrrandi juurte leidmiseks klõpsake nuppu "Arvuta".
• Tulemustes kuvatakse juured koos üksikasjalike arvutuste ja selgitustega.
• Teie arvutuste ajalugu kuvatakse allpool.
• Kalkulaatori lähtestamiseks klõpsake nuppu "Kustuta tulemused".
• Tulemuste lõikepuhvrisse kopeerimiseks klõpsake nuppu "Kopeeri tulemused".

x^3 +

x^2 +

x +

Arvutama Kustuta tulemused Tulemuste kopeerimine

Üksikasjalik arvutus ja selgitus:

Arvutuste ajalugu

Kuupvõrrandi kalkulaator on tööriist, mis aitab lahendada kuupvõrrandeid. Kuupvõrrand on algebraline võrrand, mille aste on 3. See tähendab, et võrrandi kõrgeim astendaja on 3. Kirjutatud standardkujul, kus a ≠ 0, näeb kuupvõrrand välja selline: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. B-, c- või d-liikmed võivad võrrandist puududa või termin a võib olla 1. Teil on kuupvõrrand seni, kuni on olemas ax^3 väärtus.

mõisted

Järgmised on mõned põhimõisted, mis on kuupvõrrandite aluseks:

Roots

Kuupvõrrandi lahendeid nimetatakse võrrandi vasakpoolses servas määratletud kuupfunktsiooni juurteks. Kui kuupvõrrandi kõik koefitsiendid a, b, c ja d on reaalarvud, on sellel vähemalt üks reaaljuur (see kehtib kõigi paaritu astme polünoomfunktsioonide kohta). Kõik kuupvõrrandi juured saab leida järgmiste vahenditega:

• Algebraliselt: täpsemalt saab neid väljendada kuupvalemiga, mis hõlmab nelja koefitsienti, nelja aritmeetilisi põhitehteid, ruutjuuri ja kuupjuuri. See kehtib ka ruut- (teise astme) ja kvartsi (nelja astme) võrrandite kohta, kuid mitte kõrgema astme võrrandite kohta vastavalt Abel-Ruffini teoreemile.
• Trigonomeetriliselt: juurte arvulisi lähendusi saab leida juure leidmise algoritmide, näiteks Newtoni meetodi abil.

Vieta valemid

Vieta valemid näitavad polünoomi kordajate seost selle juurte summade ja korrutistega. Kui teate üht juurt, saate teha asendusi ja välja mõelda teised. Kuupvõrrandi ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 korral olgu p, q ja r võrrandi 3 juurt. Niisiis: (x − p)(x − q)(x − r) = 0, täpselt nagu ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Vieta valemid kasutavad neid ekvivalente, et näidata, kuidas juured on seotud koefitsientidega kuupvõrrandist. Ekvivalentsused on loetletud allpool koos tõestusega.

Vieta ekvivalendid	Juureväljendus	Võrdub
p + q + r	-b/a
pq + qr + rp	c/a
pqr	-d/a

kasu

Kuupvõrrandi kalkulaator on kasulik tööriist kuupvõrrandite lahendamiseks. Võrreldes võrrandi käsitsi lahendamisega võib see säästa aega ja vaeva. Kalkulaator leiab x jaoks kõik lahendused, ka komplekslahendused. Iga kuupvõrrandi jaoks on x jaoks üks või kolm võimalikku reaaljuurlahendust. Teil võib olla ainult kaks erinevat lahendit, näiteks juhul x = 1, x = 5, x = 5, kuid siiski on kolm tegelikku juurt.

Huvitavaid fakte

• Kuupvõrrandid teadsid vanad babüloonlased, kreeklased, hiinlased, indiaanlased ja egiptlased.
• Kuubi kahekordistamise probleem hõlmab kõige lihtsamat ja vanimat uuritud kuupvõrrandit, millele iidsed egiptlased ei uskunud lahenduse olemasolu.
• 5. sajandil eKr vähendas Hippokrates selle probleemi kahe keskmise proportsionaali leidmisele ühe ja teise kaks korda selle pikkuse vahel, kuid ei suutnud seda lahendada kompassi ja sirge konstruktsiooniga. See ülesanne on nüüd teadaolevalt võimatu.

viited

• Archimedes: sfäärist ja silindrist, II raamat, II väide
• Isaac Newton: Principia Mathematica, I raamat, Propositsioon X
• Leonhard Euler: Introductio in Analysin Infinitorum, I köide, 9. peatükk
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, 11. peatükk

Viimati värskendatud: 25. novembril 2023