Le commutatif et l'associatif sont largement utilisés en mathématiques pour résoudre des questions ou prouver un théorème. Ces propriétés aident à résoudre les questions et à déterminer les propriétés.
Cela aide à calculer les réponses. Les deux ont des significations différentes, mais les deux sont liés l'un à l'autre.
Les deux peuvent être appliqués à la multiplication.
Faits marquants
- La propriété commutative s'applique à la fois à l'addition et à la multiplication, permettant aux nombres d'être réarrangés sans affecter le résultat.
- La propriété associative implique également l'addition et la multiplication mais se concentre sur le regroupement des nombres sans changer le résultat.
- Ces deux propriétés sont fondamentales en mathématiques, aidant à simplifier et à résoudre les équations plus efficacement.
Commutatif vs Associatif
La différence entre commutatif et associatif réside dans le fait que commutatif provient du mot commuter, tandis qu'associatif provient du mot groupement. Le commutatif rend les nombres interrupteur, mais Associatif fait basculer le groupe de nombres les uns avec les autres. L'ordre des facteurs ou des compléments ne change pas la réponse.
Une opération commutative est une opération indépendante de l'ordre de ses opérandes. L'addition et la multiplication de nombres réels sont des opérations commutatives, puisque pour tout nombre réel, « a » et « b ».
Cependant, la soustraction et la division ne sont pas des opérations commutatives. La définition exacte dépend du type d'algèbre utilisé.
Une opération associative (également appelée opération commutative) est une opération mathématique qui conserve l'ordre des opérandes.
Les nombres 3 et 4 sont additionnés, suivis de 4 et 3 étant additionnés, ce qui signifie que l'ordre d'addition n'a pas d'importance. La propriété associative fonctionne également pour la soustraction et la multiplication.
Tableau de comparaison
| Paramètres de comparaison | Commutatif | Associatif |
|---|---|---|
| Origine | Commuer | Réservation de groupe |
| Sens | Changer de numéro | Numéros dans un groupe |
| Deux numéros en plus | a+b = b+a | (une+b)+c = une+(b+c) |
| Deux nombres en multiplication | a*b = b*a | (une*b)*c = une*(b*c) |
| Modifier | Ordre des compléments | Regroupement d'addends |
| Changements de réponse | L'ordre des facteurs ne change pas la réponse. | Un groupe de facteurs ne change pas la réponse. |
C'est quoi commutatif ?
Alors que la propriété commutative de l'addition est relativement simple, la propriété commutative de la multiplication est légèrement plus subtile.
Comparez l'addition et la multiplication de nombres réels. Dans ce cas, nous avons non seulement un changement dans l'ordre des termes mais aussi un changement dans le résultat !
C'est quelque chose que nous ne voyons pas non plus. Par exemple, si nous considérons pourquoi, alors 1+3 et 3+1 sont égaux à 4.
Si nous devions échanger l'ordre de ces deux termes, la réponse serait toujours 4. En fait, toute opération binaire (y compris l'opération vide) est commutative dans un corps ou un anneau.
Une opération commutative est une opération en mathématiques dont l'ordre n'a pas d'importance. En d'autres termes, le résultat de deux opérations quelconques avec les mêmes opérandes est toujours le même quel que soit leur ordre.
Les opérations commutatives sont très importantes pour simplifier les expressions mathématiques et éviter les erreurs d'ordre des opérations.
Une opération commutative est définie comme une opération qui peut être inversée.
Par exemple, multiplier deux nombres est commutatif car multiplier le premier nombre par le deuxième nombre ou vice versa donnera le même résultat.
Si nous utilisons l'opérateur + sur deux nombres, le résultat peut ne pas toujours être le même.
C'est quoi Associatif ?
Soustraire un nombre d'un autre, puis soustraire le deuxième nombre du premier donnera le même résultat que de soustraire ces deux nombres dans n'importe quel ordre.
La propriété associative nous permet de réécrire les expressions de différentes manières sans changer leur valeur. Par exemple, si nous avons deux fonctions, f(x) et g(x).
Une opération associative est une généralisation d'une opération définie entre des éléments d'un groupe qui possède une propriété particulière.
Les opérations associatives sont courantes dans de nombreux domaines, tels que les mathématiques, la physique, la philosophie, la linguistique et Informatique.
L'opération associative la plus connue est une addition à l'ensemble des nombres réels. Autrement dit, pour trois nombres réels quelconques, la somme est indépendante du groupement des opérandes : par exemple.
Cela reste vrai si une ou plusieurs des sommations sont nulles. Cette propriété s'étend à toutes les opérations commutatives impliquant des nombres réels.
L'opération associative représente une opération arithmétique qui a le même résultat quel que soit l'ordre dans lequel les opérandes sont évalués.
L'opération associative est une propriété importante de la carte qui nous permet de faire des choses comme l'addition vectorielle :
La loi associative d'intersection stipule que l'intersection de trois ensembles peut être calculée en commençant par l'intersection de deux ensembles, puis en appliquant l'intersection au troisième ensemble.
Principales différences entre commutatif et associatif
- Le commutatif vient du commute, mais l'associatif vient du groupe.
- Commutatif peut changer de nombre, mais Associatif fait référence à la création de nombres dans un groupe.
- Commutatif est a+b = b+a mais Associatif est a+(b+c) = (a+b)+c en plus.
- Commutative est axb = bxa, mais Associative est ax (bxc) = (axb) xc en multiplication.
- Commutative peut changer l'ordre des addends et des fins, mais Associative peut changer le groupement des addends.
- Le changement dans l'ordre des facteurs ne change pas la réponse et les changements dans l'ordre d'un groupe de facteurs.
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0732312312000351
- https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/2167702612455742
Dernière mise à jour : 11 juin 2023
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Piyush Yadav a passé les 25 dernières années à travailler comme physicien dans la communauté locale. C'est un physicien passionné par l'idée de rendre la science plus accessible à nos lecteurs. Il est titulaire d'un baccalauréat en sciences naturelles et d'un diplôme d'études supérieures en sciences de l'environnement. Vous pouvez en savoir plus sur lui sur son page bio.
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