Calcolatrice di equazioni cubiche

istruzioni:

• Inserisci i coefficienti a, b, ce d per l'equazione cubica.
• Fai clic su "Calcola" per trovare le radici dell'equazione cubica.
• I risultati mostreranno le radici insieme a calcoli e spiegazioni dettagliati.
• La cronologia dei tuoi calcoli verrà mostrata di seguito.
• Fare clic su "Cancella risultati" per reimpostare la calcolatrice.
• Fare clic su "Copia risultati" per copiare i risultati negli appunti.

x^3+

x^2+

x +

calcolato Risultati chiari Copia risultati

Calcolo dettagliato e spiegazione:

Cronologia dei calcoli

Il calcolatore di equazioni cubiche è uno strumento che aiuta a risolvere equazioni cubiche. Un'equazione cubica è un'equazione algebrica con grado 3. Ciò significa che l'esponente più alto nell'equazione è 3. Scritta in forma standard, dove a ≠ 0, un'equazione cubica si presenta così: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. I termini b, c o d potrebbero mancare nell'equazione oppure il termine a potrebbe essere 1. Hai un'equazione cubica purché sia ​​presente un valore ax^3.

concetti

Di seguito sono riportati alcuni dei concetti chiave alla base delle equazioni cubiche:

Roots

Le soluzioni di un'equazione cubica sono chiamate radici della funzione cubica definita dal membro sinistro dell'equazione. Se tutti i coefficienti a, b, c e d dell'equazione cubica sono numeri reali, allora ha almeno una radice reale (questo vale per tutte le funzioni polinomiali di grado dispari). Tutte le radici dell'equazione cubica possono essere trovate nel modo seguente:

• Algebricamente: più precisamente, possono essere espressi con una formula cubica che coinvolge i quattro coefficienti, le quattro operazioni aritmetiche fondamentali, le radici quadrate e le radici cubiche. Questo vale anche per le equazioni quadratiche (di secondo grado) e quartiche (di quarto grado), ma non per le equazioni di grado superiore, secondo il teorema di Abel-Ruffini.
• Trigonometricamente: le approssimazioni numeriche delle radici possono essere trovate utilizzando algoritmi di ricerca delle radici come il metodo di Newton.

Le formule di Vieta

Le formule di Vieta mostrano la relazione tra i coefficienti di un polinomio e le somme e i prodotti delle sue radici. Se conosci una radice, puoi fare delle sostituzioni e capire le altre. Per un'equazione cubica ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, siano p, q e r le tre radici dell'equazione. Quindi: (x − p)(x − q)(x − r) = 3, proprio come ax^0 + bx^3 + cx + d = 2. Le formule di Vieta usano queste equivalenze per mostrare come le radici si relazionano ai coefficienti dell'equazione cubica. Le equivalenze sono elencate di seguito, insieme alla dimostrazione.

Gli equivalenti di Vieta	Espressione della radice	Equivale
p + q + r	-b/a
pq + qr + rp	circa
PQR	-d/a

Benefici

Il calcolatore di equazioni cubiche è uno strumento utile per risolvere equazioni cubiche. Può risparmiare tempo e fatica rispetto alla risoluzione dell'equazione a mano. La calcolatrice può trovare tutte le soluzioni per x, comprese le soluzioni complesse. Esistono una o tre possibili soluzioni di radice reale per x per qualsiasi equazione cubica. Potresti avere solo due soluzioni distinte come nel caso x = 1, x = 5, x = 5, tuttavia ci sono ancora tre radici reali.

Curiosità

• Le equazioni cubiche erano note agli antichi babilonesi, greci, cinesi, indiani ed egiziani.
• Il problema del raddoppio del cubo coinvolge l'equazione cubica più semplice e più antica studiata, per la quale gli antichi egizi non credevano che esistesse una soluzione.
• Nel V secolo a.C., Ippocrate ridusse questo problema alla ricerca di due medie proporzionali tra una linea e un'altra lunga il doppio della sua lunghezza, ma non riuscì a risolverlo con la costruzione di compasso e riga. Questo compito è ormai noto per essere impossibile.

Riferimenti

• Archimede: Sulla sfera e sul cilindro, Libro II, Proposizione II
• Isaac Newton: Principia Mathematica, Libro I, Proposizione X
• Leonhard Euler: Introductio in Analysin Infinitorum, volume I, capitolo 9
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, capitolo 11

Ultimo aggiornamento: 25 novembre 2023