Comutativo e Associativo são largamente usados em Matemática para resolver questões ou para provar algum teorema. Essas propriedades ajudam a resolver as questões e determinar as propriedades.
Ajuda a calcular as respostas. Ambos têm significados diferentes, mas ambos estão relacionados entre si.
Ambos podem ser aplicados à multiplicação.
Principais lições
- A propriedade comutativa se aplica tanto à adição quanto à multiplicação, permitindo que os números sejam reorganizados sem afetar o resultado.
- A propriedade associativa também envolve adição e multiplicação, mas se concentra no reagrupamento de números sem alterar o resultado.
- Ambas as propriedades são fundamentais em matemática, ajudando a simplificar e resolver equações com mais eficiência.
Comutativo vs Associativo
A diferença entre Comutativo e Associativo é que Comutativo surge da palavra comutar, enquanto Associativo vem do agrupamento de palavras. Comutativo faz os números interruptor, mas Associativo faz com que o grupo de números troque entre si. A ordem dos fatores ou acréscimos não altera a resposta.
Uma operação comutativa é uma operação que independe da ordem de seus operandos. A adição e a multiplicação de números reais são operações comutativas, pois para qualquer número real, “a” e “b”.
No entanto, subtração e divisão não são operações comutativas. A definição exata depende do tipo de álgebra que está sendo usada.
Uma operação associativa (também chamada de operação comutativa) é uma operação matemática que retém a ordem dos operandos.
Os números 3 e 4 são somados, seguidos de 4 e 3 sendo somados, o que significa que a ordem da adição não importa. A propriedade associativa também funciona para subtração e multiplicação.
Tabela de comparação
| Parâmetros de comparação | Comutativo | Associativo |
|---|---|---|
| Originar | Comutar | Grupo |
| Significado | Alternar números | Números em um grupo |
| Dois números além | a+b = b+a | (a+b)+c = a+(b+c) |
| Dois números na multiplicação | a*b = b*a | (a*b)*c = a*(b*c) |
| Mudar | Ordem dos adendos | Agrupamento de adendos |
| Alterações de resposta | A ordem dos fatores não altera a resposta. | Um conjunto de fatores não altera a resposta. |
O que é comutativo?
Embora a propriedade comutativa da adição seja relativamente direta, a propriedade comutativa da multiplicação é um pouco mais sutil.
Compare a adição e a multiplicação de números reais. Nesse caso, temos não apenas uma mudança na ordem dos termos, mas também uma mudança no resultado!
Isso é algo que não vemos também. Por exemplo, se considerarmos o porquê, então 1+3 e 3+1 são iguais a 4.
Se trocássemos a ordem desses dois termos, a resposta ainda seria 4. De fato, toda operação binária (incluindo a operação vazia) é comutativa em um corpo ou anel.
Uma operação comutativa é uma operação em matemática de quem ordem não importa. Em outras palavras, o resultado de quaisquer duas operações com os mesmos operandos é sempre o mesmo, independentemente de sua ordem.
As operações comutativas são muito importantes para simplificar expressões matemáticas e evitar erros na ordem das operações.
Uma operação comutativa é definida como uma operação que pode ser revertida.
Por exemplo, multiplicar dois números é comutativo porque multiplicar o primeiro número pelo segundo número ou vice-versa dará o mesmo resultado.
Se usarmos o operador + em dois números, o resultado pode não ser sempre o mesmo.
O que é Associativo?
Subtrair um número de outro e depois subtrair o segundo número do primeiro dará o mesmo resultado que subtrair esses dois números em qualquer ordem.
A propriedade associativa nos permite reescrever expressões de diferentes maneiras sem alterar seu valor. Por exemplo, se tivermos duas funções, f(x) e g(x).
Uma operação associativa é uma generalização de uma operação definida entre elementos de um grupo que possui uma determinada propriedade.
Operações associativas são comuns em muitos campos, como matemática, física, filosofia, lingüística e Ciência da Computação.
A operação associativa mais familiar é uma adição ao conjunto de números reais. Ou seja, para quaisquer três números reais, a soma independe do agrupamento dos operandos: por exemplo.
Isso permanece verdadeiro se um ou mais somados forem zero. Esta propriedade se estende a todas as operações comutativas envolvendo números reais.
A operação associativa representa uma operação aritmética que tem o mesmo resultado independente da ordem em que os operandos são avaliados.
A operação associativa é uma propriedade importante do mapa que nos permite fazer coisas como adição de vetores:
A lei associativa para interseção afirma que a interseção de três conjuntos pode ser calculada começando com a interseção de dois conjuntos e, em seguida, aplicando a interseção ao terceiro conjunto.
Principais diferenças entre comutativo e associativo
- Comutativo vem do trajeto, mas associativo vem do grupo.
- Comutativo pode trocar números, mas Associativo refere-se a fazer os números em um grupo.
- Comutativo é a+b = b+a mas Associativo é a+(b+c) = (a+b)+c além disso.
- Comutativo é axb = bxa, mas associativo é ax (bxc) = (axb) xc na multiplicação.
- Comutativo pode alterar a ordem de adendos e extremidades, mas Associativo pode alterar o agrupamento de adendos.
- A alteração na ordem dos fatores não altera a resposta e altera a ordem de um grupo de fatores.
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0732312312000351
- https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/2167702612455742
Última atualização: 11 de junho de 2023
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Piyush Yadav passou os últimos 25 anos trabalhando como físico na comunidade local. Ele é um físico apaixonado por tornar a ciência mais acessível aos nossos leitores. Ele é bacharel em Ciências Naturais e pós-graduado em Ciências Ambientais. Você pode ler mais sobre ele em seu página bio.
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Fico feliz que o artigo também tenha abordado a propriedade comutativa da multiplicação, ofuscada pela propriedade comutativa da adição. Compreender essas propriedades é crucial em matemática.
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