Калкулатор кубних једначина

инструкције:

• Унесите коефицијенте a, b, c, и d за кубну једначину.
• Кликните на "Израчунај" да бисте пронашли корене кубичне једначине.
• Резултати ће приказати корене заједно са детаљним прорачунима и објашњењима.
• Ваша историја израчунавања ће бити приказана испод.
• Кликните на „Обриши резултате“ да бисте ресетовали калкулатор.
• Кликните на „Копирај резултате“ да бисте копирали резултате у међуспремник.

к^3 +

к^2 +

к +

Израчунати Обриши резултате Копирај резултате

Детаљан прорачун и објашњење:

Историја израчунавања

Калкулатор кубних једначина је алатка која помаже у решавању кубних једначина. Кубична једначина је алгебарска једначина са степеном 3. То значи да је највећи експонент у једначини 3. Написана у стандардном облику, где је а = 0, кубична једначина изгледа овако: ак^3 + бк^2 + цк + д = 0. Чланови б, ц или д можда недостају у једначини, или а члан може бити 1. Имате кубну једначину све док постоји вредност ак^3.

концепти

У наставку су неки од кључних концепата који леже у основи кубних једначина:

Корење

Решења кубичне једначине називају се коренима кубне функције дефинисане левом страном једначине. Ако су сви коефицијенти а, б, ц и д кубичне једначине реални бројеви, онда она има најмање један реалан корен (ово важи за све функције полинома непарног степена). Сви корени кубичне једначине могу се наћи на следећи начин:

• Алгебарски: Тачније, могу се изразити кубном формулом која укључује четири коефицијента, четири основне аритметичке операције, квадратне корене и кубне корене. Ово такође важи за квадратне (другог степена) и квартичне (четврти степен) једначине, али не и за једначине вишег степена, према Абел–Руфинијевој теореми.
• Тригонометријски: Нумеричке апроксимације корена могу се наћи коришћењем алгоритама за проналажење корена као што је Њутнов метод.

Виетине формуле

Вијетине формуле показују однос између коефицијената полинома и збира и производа његових корена. Ако знате један корен, можете да извршите замене и откријете остале. За кубну једначину ак^3 + бк^2 + цк + д = 0, нека су п, к и р 3 корена једначине. Дакле: (к − п)(к − к)(к − р) = 0, баш као што је ак^3 + бк^2 + цк + д = 0. Вијетине формуле користе ове еквивалентности да покажу како се корени односе на коефицијенте кубичне једначине. Еквиваленције су наведене у наставку, заједно са доказом.

Виетини еквиваленти	Роот Екпрессион	једнако
п + к + р	-б/а
пк + кр + рп	ц/а
пкр	-д/а

Предности

Калкулатор кубних једначина је користан алат за решавање кубних једначина. Може уштедети време и труд у поређењу са решавањем једначине ручно. Калкулатор може да пронађе сва решења за к, укључујући и сложена решења. Постоје једно или три могућа реална решења корена за к за било коју кубну једначину. Можда имате само два различита решења као у случају к = 1, к = 5, к = 5, међутим, и даље постоје три реална корена.

Занимљивости

• Кубичне једначине су познавали стари Вавилонци, Грци, Кинези, Индијци и Египћани.
• Проблем удвостручавања коцке укључује најједноставнију и најстарију проучавану кубну једначину, за коју стари Египћани нису веровали да постоји решење.
• У 5. веку пре нове ере, Хипократ је овај проблем свео на проналажење две средње пропорционалне између једне и друге линије двоструке њене дужине, али то није могао да реши помоћу шестара и равнала. Сада се зна да је овај задатак немогућ.

Референце

• Архимед: О сфери и цилиндру, књига ИИ, предлог ИИ
• Исак Њутн: Принципиа Матхематица, Књига И, Пропозиција Кс
• Леонхард Еулер: Интродуцтио ин Аналисин Инфиниторум, том И, поглавље 9
• Карл Фридрих Гаус: Дискуиситионес Генералес цирца Суперфициес Цурвас, Поглавље 11

Последње ажурирање: 25. новембар 2023