Υπολογιστής κυβικών εξισώσεων

Οδηγίες:

• Εισαγάγετε συντελεστές a, b, c, να d για την κυβική εξίσωση.
• Κάντε κλικ στο "Υπολογισμός" για να βρείτε τις ρίζες της κυβικής εξίσωσης.
• Τα αποτελέσματα θα εμφανίσουν τις ρίζες μαζί με λεπτομερείς υπολογισμούς και επεξηγήσεις.
• Το ιστορικό των υπολογισμών σας θα εμφανιστεί παρακάτω.
• Κάντε κλικ στο "Διαγραφή αποτελεσμάτων" για να επαναφέρετε την αριθμομηχανή.
• Κάντε κλικ στην επιλογή "Αντιγραφή αποτελεσμάτων" για να αντιγράψετε τα αποτελέσματα στο πρόχειρο.

x^3 +

x^2 +

x +

Υπολογίζω Εκκαθάριση αποτελεσμάτων Αντιγραφή αποτελεσμάτων

Αναλυτικός Υπολογισμός και Επεξήγηση:

Ιστορικό Υπολογισμών

Το Cubic Equation Calculator είναι ένα εργαλείο που βοηθά στην επίλυση κυβικών εξισώσεων. Μια κυβική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση με βαθμό 3. Αυτό σημαίνει ότι ο υψηλότερος εκθέτης στην εξίσωση είναι 3. Γράφεται σε τυπική μορφή, όπου a ≠ 0, μια κυβική εξίσωση μοιάζει με αυτό: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Οι όροι b, c ή d μπορεί να λείπουν από την εξίσωση ή ο όρος a μπορεί να είναι 1. Έχετε μια κυβική εξίσωση εφόσον υπάρχει μια τιμή ax^3.

έννοιες

Οι παρακάτω είναι μερικές από τις βασικές έννοιες που αποτελούν τη βάση των κυβικών εξισώσεων:

Ρίζες

Οι λύσεις μιας κυβικής εξίσωσης ονομάζονται ρίζες της κυβικής συνάρτησης που ορίζεται από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Αν όλοι οι συντελεστές a, b, c και d της κυβικής εξίσωσης είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα (αυτό ισχύει για όλες τις πολυωνυμικές συναρτήσεις περιττού βαθμού). Όλες οι ρίζες της κυβικής εξίσωσης μπορούν να βρεθούν με τα ακόλουθα μέσα:

• Αλγεβρικά: Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να εκφραστούν με έναν κυβικό τύπο που περιλαμβάνει τους τέσσερις συντελεστές, τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, τις τετραγωνικές ρίζες και τις κυβικές ρίζες. Αυτό ισχύει επίσης για τις εξισώσεις του δευτεροβάθμιου (δευτέρου βαθμού) και του τετραγωνικού (τέταρτου βαθμού), αλλά όχι για τις εξισώσεις υψηλότερου βαθμού, σύμφωνα με το θεώρημα Abel-Ruffini.
• Τριγωνομετρικά: Αριθμητικές προσεγγίσεις των ριζών μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας αλγόριθμους εύρεσης ρίζας όπως η μέθοδος του Newton.

Οι Φόρμουλες του Βιέτα

Οι τύποι του Vieta δείχνουν τη σχέση μεταξύ των συντελεστών ενός πολυωνύμου και των αθροισμάτων και των γινομένων των ριζών του. Εάν γνωρίζετε μια ρίζα, μπορείτε να κάνετε αντικαταστάσεις και να καταλάβετε τις άλλες. Για μια κυβική εξίσωση ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, έστω p, q και r οι 3 ρίζες της εξίσωσης. Άρα: (x − p)(x − q)(x − r) = 0, ακριβώς όπως ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Οι τύποι του Vieta χρησιμοποιούν αυτές τις ισοδυναμίες για να δείξουν πώς σχετίζονται οι ρίζες με τους συντελεστές της κυβικής εξίσωσης. Οι ισοδυναμίες παρατίθενται παρακάτω, μαζί με την απόδειξη.

Ισοδύναμα του Βιέτα	Ριζική έκφραση	ισούται
p + q + r	-β/α
pq + qr + rp	γ/α
PQR	-δ/α

Oφέλη

Το Cubic Equation Calculator είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση κυβικών εξισώσεων. Μπορεί να εξοικονομήσει χρόνο και προσπάθεια σε σύγκριση με την επίλυση της εξίσωσης με το χέρι. Η αριθμομηχανή μπορεί να βρει όλες τις λύσεις για το x, συμπεριλαμβανομένων των μιγαδικών λύσεων. Υπάρχουν είτε μία είτε τρεις πιθανές πραγματικές λύσεις ρίζας για το x για οποιαδήποτε κυβική εξίσωση. Μπορεί να έχετε μόνο δύο διακριτές λύσεις όπως στην περίπτωση x = 1, x = 5, x = 5, ωστόσο, υπάρχουν ακόμα τρεις πραγματικές ρίζες.

Ενδιαφέροντα γεγονότα

• Οι κυβικές εξισώσεις ήταν γνωστές στους αρχαίους Βαβυλώνιους, Έλληνες, Κινέζους, Ινδούς και Αιγύπτιους.
• Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου περιλαμβάνει την απλούστερη και παλαιότερη κυβική εξίσωση που μελετήθηκε και για την οποία οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν πίστευαν ότι υπήρχε λύση.
• Τον 5ο αιώνα π.Χ., ο Ιπποκράτης μείωσε αυτό το πρόβλημα στην εύρεση δύο μέσων αναλογιών μεταξύ μιας γραμμής και μιας άλλης διπλάσιο του μήκους της, αλλά δεν μπόρεσε να το λύσει με μια πυξίδα και μια ευθύγραμμη κατασκευή. Αυτό το έργο είναι πλέον γνωστό ότι είναι αδύνατο.

αναφορές

• Archimedes: On the Sphere and Cylinder, Book II, Proposition II
• Isaac Newton: Principia Mathematica, Βιβλίο I, Πρόταση X
• Leonhard Euler: Introductio in Analysin Infinitorum, Volume I, Chapter 9
• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, Κεφάλαιο 11

Τελευταία ενημέρωση: 25 Νοεμβρίου, 2023