Μια κωνική τομή είναι μια καμπύλη που προκύπτει όταν ένα επίπεδο τέμνει έναν κώνο σε κάποια συγκεκριμένη γωνία. Υπάρχουν τρία κωνικά τμήματα - έλλειψη, παραβολή και υπερβολή.
Η έλλειψη είναι μια επίπεδη καμπύλη με δύο εστιακά σημεία που μοιάζουν με κύκλο. Ωστόσο, η παραβολή και η υπερβολή είναι συγκεχυμένες ενότητες.
Βασικές τακτικές
- Οι παραβολές είναι καμπύλες σχήματος U που αντιπροσωπεύουν τετραγωνικές συναρτήσεις, με έναν άξονα συμμετρίας και μια μοναδική κορυφή.
- Οι υπερβολές αποτελούνται από δύο διακριτές καμπύλες, που αντιπροσωπεύουν σημεία με σταθερή διαφορά μεταξύ των αποστάσεων μεταξύ δύο εστιών.
- Και οι παραβολές και οι υπερβολές είναι κωνικές τομές, αλλά παρουσιάζουν διαφορετικά σχήματα και μαθηματικές ιδιότητες, με τις παραβολές να έχουν έναν μόνο κλάδο και τις υπερβολές να έχουν δύο κλάδους.
Παραβολή εναντίον Υπερβολών
Η παραβολή είναι μια καμπύλη σχήματος U που είναι συμμετρική γύρω από τον άξονά της. Αντίθετα, μια υπερβολή είναι ένας τύπος καμπύλης που έχει δύο κλάδους που ανοίγουν προς τα πάνω ή προς τα κάτω και είναι συμμετρικοί γύρω από το κεντρικό τους σημείο. Στα μαθηματικά, αντιπροσωπεύονται από διαφορετικά εξισώσεις και έχουν διαφορετικές ιδιότητες.
Η παραβολή είναι μια ενιαία ανοιχτή καμπύλη που εκτείνεται στο άπειρο. Έχει σχήμα U και έχει μία εστία και μία κατεύθυνση.
Μια υπερβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη που έχει δύο ασύνδετους κλάδους. Έχει δύο εστίες και δύο κατευθύνσεις, μία για την καθεμία μονάδα.
Συγκριτικός πίνακας
| Παράμετρος Σύγκρισης | Παραβολή | Υπερβολή |
|---|---|---|
| Ορισμός | Η παραβολή είναι ο τόπος των σημείων με ίση απόσταση από μια εστία και μια ευθεία. | Μια υπερβολή είναι ένας τόπος σημείων με σταθερή διαφορά μεταξύ δύο εστιών. |
| Shape | Η παραβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη που έχει μία εστία και μία κατεύθυνση. | Η υπερβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη με δύο κλάδους, δύο εστίες και δύο κατευθύνσεις. |
| Εκκεντρικότητα | Η μη αρνητική εκκεντρότητα μιας παραβολής είναι μία. | Η μη αρνητική εκκεντρότητα e μιας υπερβολής είναι πιο σημαντική από τη μία. |
| Διασταύρωση αεροπλάνου | Η τομή του επιπέδου είναι παράλληλη (ιδανική περίπτωση) με το ύψος κλίσης του κώνου. | Η τομή του επιπέδου είναι παράλληλη (ιδανική περίπτωση) στο κάθετο ύψος του διπλού κώνου. |
| Γενική Εξίσωση | Η γενική εξίσωση της παραβολής είναι y = ax², a ≠ 0 | Η γενική εξίσωση της υπερβολής είναι x²/a² – y²/b² = 1 |
Τι είναι η Parabola;
Η παραβολή είναι ο τόπος όλων των σημείων που έχουν ίση απόσταση από ένα σημείο και μια ευθεία. Αυτό το σημείο ονομάζεται εστίαση, και αυτή η γραμμή ονομάζεται κατευθυντήρια γραμμή.
Μια παραβολή σχηματίζεται όταν ένα επίπεδο τέμνει έναν κώνο σε παράλληλη διεύθυνση (ιδανική περίπτωση) με την κλίση του ύψος.
Η γενική εξίσωση μιας παραβολής δίνεται ως
y = ax², a ≠ 0
Η τιμή του a καθορίζει το σχήμα της καμπύλης.
Εάν a > 0, το στόμιο της παραβολής ανοίγει προς τα πάνω.
Εάν a < 0, το στόμιο της παραβολής ανοίγει προς τα κάτω.
Η εστίαση της παραπάνω παραβολής είναι (0, 1/4a). Η διεύθυνση είναι (-1/4a).
Ωστόσο, όταν a=1, η παραβολή ονομάζεται παραβολή μονάδας.
Μια παραβολή έχει εκκεντρότητα XNUMX.
Μια παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονά της. Σε άπειρη απόσταση, οι καμπύλες εμφανίζονται ως παράλληλες γραμμές.
Τι είναι η υπερβολή;
Μια υπερβολή είναι ο τόπος όλων των σημείων με σταθερή διαφορά μεταξύ δύο διακριτών σημείων. Αυτά τα σημεία ονομάζονται εστίες της υπερβολής.
Μια υπερβολή σχηματίζεται όταν ένα συμπαγές επίπεδο τέμνει έναν κώνο σε διεύθυνση παράλληλη προς το κάθετο ύψος του.
Η γενική εξίσωση μιας υπερβολής δίνεται ως
(x-α) ²/a² – (y-β)²/b² = 1
Οι εστίες της παραπάνω υπερβολής είναι ( α ± sqrt( a²+b²), β).
Οι κορυφές είναι (±a, β).
Μια υπερβολή έχει μια εκκεντρικότητα πιο σημαντική από μια.
Μια υπερβολή έχει δύο άξονες συμμετρίας. Αυτοί είναι ο εγκάρσιος άξονας και ο συζευγμένος άξονας.
Κύριες διαφορές μεταξύ παραβολής και υπερβολής
Μια παραβολή και μια υπερβολή είναι κωνικές τομές. Έχουν διαφορετικά σχήματα και ιδιότητες.
Οι κύριες διαφορές μεταξύ των δύο είναι:
- Η παραβολή είναι ο τόπος όλων των σημείων με ίση απόσταση από μια εστία και μια ευθεία. Από την άλλη πλευρά, μια υπερβολή είναι ο τόπος όλων των θεμάτων για τα οποία η διαφορά απόστασης μεταξύ δύο εστιών είναι σταθερή.
- Μια παραβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη με μια εστία και μια κατεύθυνση, ενώ μια υπερβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη με δύο κλάδους με δύο εστίες και κατευθύνσεις.
- Η εκκεντρότητα μιας παραβολής είναι μία, ενώ η εκκεντρότητα μιας υπερβολής είναι πιο σημαντική από μία.
- Μια παραβολή σχηματίζεται όταν το επίπεδο τέμνει έναν κώνο κατά μήκος του κεκλιμένου ύψους του. Από την άλλη πλευρά, μια υπερβολή σχηματίζεται όταν το επίπεδο τέμνει έναν κώνο κατά μήκος του κάθετου ύψους του.
- Η εξίσωση για μια παραβολή είναι y = ax². Από την άλλη πλευρά, η εξίσωση για μια υπερβολή είναι x²/a² – y²/b² = 1.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ao-54-24-7148
- https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/68/4/537/449711
Τελευταία ενημέρωση: 11 Ιουνίου 2023
Έχω καταβάλει τόση προσπάθεια γράφοντας αυτήν την ανάρτηση ιστολογίου για να σας προσφέρω αξία. Θα είναι πολύ χρήσιμο για μένα, αν σκέφτεστε να το μοιραστείτε στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης ή με τους φίλους/την οικογένειά σας. Η ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ♥️
Η Emma Smith είναι κάτοχος μεταπτυχιακού διπλώματος στα αγγλικά από το Irvine Valley College. Είναι Δημοσιογράφος από το 2002, αρθρογραφώντας για την αγγλική γλώσσα, τον αθλητισμό και το δίκαιο. Διαβάστε περισσότερα για μένα σε αυτήν βιο σελίδα.
Υπέροχο άρθρο! Εκτιμώ τη σαφή και συνοπτική εξήγηση των διαφορών μεταξύ παραβολών και υπερβολών. Αυτό ήταν πολύ κατατοπιστικό.
Συμφωνώ, Τάνια. Η διάκριση μεταξύ παραβολών και υπερβολών είναι πολύ καλά επεξηγημένη εδώ.
Ο τόνος του άρθρου είναι πολύ ακαδημαϊκός, καθιστώντας δυσνόητο για όσους δεν έχουν μαθηματική κλίση.
Αυτό είναι ένα καλό σημείο, Rhall. Ένας πιο προσιτός τόνος θα μπορούσε να είναι ευεργετικός.
Αυτό το άρθρο είναι μια εξαιρετική πηγή για όποιον μελετά κωνικές τομές. Είναι πολύ καλογραμμένο και κατατοπιστικό.
Συμφωνώ, είναι μια πολύτιμη πηγή για τους μαθητές που θέλουν να κατανοήσουν αυτό το θέμα.
Η παρουσίαση των εννοιών είναι πολύ σαφής και κατατοπιστική. Εκτιμώ την έμφαση στις βασικές διαφορές.
Η έμφαση στην αντίθεση είναι πολύ χρήσιμη για την κατανόηση των εννοιών.
Συμφωνώ, Ρος. Η παρουσίαση είναι εξαιρετική, υπογραμμίζοντας τις βασικές διακρίσεις μεταξύ παραβολών και υπερβολών.
Η εξήγηση των κωνικών τομών είναι σαφής και συνοπτική. Ωστόσο, θα ήθελα να δω πιο λεπτομερή παραδείγματα.
Συμφωνώ, Xrussell. Περισσότερα παραδείγματα θα ήταν ωφέλιμα.
Δεν καταλαβαίνω τη συνάφεια αυτού του άρθρου. Νιώθω ότι πρόκειται για πληροφορίες με τις οποίες οι περισσότεροι άνθρωποι γνώριζαν ήδη. Είναι λίγο περιττό.
Νομίζω ότι το άρθρο παρέχει μια λεπτομερή σύγκριση, ακόμη και για όσους γνωρίζουν καλά τα μαθηματικά.
Αυτό το άρθρο παρέχει μια εξαιρετική σύγκριση μεταξύ παραβολών και υπερβολών. Είναι πολύ καλά μελετημένο και λεπτομερές.
Οπωσδήποτε, Όουεν. Το βάθος των πληροφοριών είναι αξιέπαινο.
Επαναλαμβάνω τα συναισθήματά σου, Όουεν. Η έρευνα είναι εμφανής σε αυτό το άρθρο.
Θεωρώ ότι το άρθρο είναι λίγο πολύ τεχνικό. Θα μπορούσε να επωφεληθεί από μια πιο απλή εξήγηση των εννοιών.
Σύμφωνος. Μια απλοποιημένη έκδοση θα μπορούσε να κάνει το περιεχόμενο πιο προσιτό.
Καταλαβαίνω την άποψη σου, Ματίλντα. Μια απλοποιημένη έκδοση θα ήταν χρήσιμη για ένα ευρύτερο κοινό.
Χαίρομαι που το άρθρο περιλαμβάνει συγκριτικούς πίνακες. Βοηθά πραγματικά στην κατανόηση των διαφορών.
Συμφωνώ, Ρούμπι. Οι πίνακες είναι μια πολύ χρήσιμη προσθήκη στο άρθρο.
Οπωσδήποτε, Ρούμπι. Η οπτική αναπαράσταση είναι ευεργετική σε αυτό το πλαίσιο.
Θεωρώ ότι η σύγκριση σε αυτό το άρθρο είναι υπεραπλουστευμένη. Υπάρχει μεγαλύτερο βάθος σε αυτά τα θέματα από αυτό που παρουσιάζεται εδώ.
Καταλαβαίνω την άποψη σου, Γκράχαμ. Μια πιο εις βάθος ανάλυση θα μπορούσε να βελτιώσει αυτό το άρθρο.