Οι αριθμοί μπορεί να είναι δύο ειδών, πραγματικοί και φανταστικοί. Το πραγματικό σύστημα αριθμών διακλαδίζεται σε άλλα συστήματα αριθμών.
Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε ρητούς και άρρητους αριθμούς. Οι ακέραιοι και τα κλάσματα υπάγονται στους Ρητικούς αριθμούς.
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών περιλαμβάνει ακέραιους αριθμούς και τα αρνητικά τους. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα σύνολο φυσικών αριθμών και μηδέν.
Βασικές τακτικές
- Οι πραγματικοί αριθμοί είναι μια ευρεία κατηγορία αριθμών που περιλαμβάνει όλους τους ορθολογικούς και παράλογους αριθμούς, όπως ακέραιους, κλάσματα και δεκαδικούς.
- Οι ακέραιοι είναι ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών, που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς και τα αντίθετά τους, όπως -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 κ.λπ.
- Τόσο οι πραγματικοί όσο και οι ακέραιοι αριθμοί είναι κατηγορίες αριθμών. Ακόμα, οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς και τους παράλογους αριθμούς, ενώ οι ακέραιοι είναι ένα συγκεκριμένο υποσύνολο πραγματικών αριθμών που περιέχουν ακέραιους αριθμούς και τα αντίθετά τους.
Πραγματικοί αριθμοί vs Ακέραιοι
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι μια εκτεταμένη κατηγορία αριθμών, η οποία περιλαμβάνει διαφορετικούς τύπους όπως δεκαδικούς, κλάσματα, ακέραιους και ορθολογικούς και παράλογους αριθμούς. Οι ακέραιοι είναι υποσύνολα ή τύποι πραγματικών αριθμών που αποτελούνται από όλους τους ακέραιους αριθμούς, θετικούς και αρνητικούς, στην αριθμητική γραμμή.
Ακέραιοι, ρητοί αριθμοί, άρρητοι αριθμοί, φυσικοί αριθμοί και ακέραιοι αριθμοί μπορούν να ταξινομηθούν ως πραγματικοί αριθμοί, ενώ μόνο οι ακέραιοι αριθμοί και τα αρνητικά τους ανήκουν στο σύστημα ακέραιων αριθμών.
Ως εκ τούτου, οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν κλασματικούς ή δεκαδικούς αριθμούς. Από την άλλη πλευρά, οι ακέραιοι αριθμοί είναι αυστηρά ακέραιοι αριθμοί (και τα αρνητικά τους). Οι ακέραιοι αριθμοί δεν περιλαμβάνουν κλάσματα ή δεκαδικούς.
Συγκριτικός πίνακας
| Παράμετρος σύγκρισης | Πραγματικοί αριθμοί | Ακεραίες |
|---|---|---|
| Ταξινόμηση | Ακέραιοι, ορθολογικοί, παράλογοι, φυσικοί και ακέραιοι αριθμοί ταξινομούνται όλοι ως πραγματικοί αριθμοί. | Μόνο οι ακέραιοι αριθμοί και τα αρνητικά τους ταξινομούνται ως Ακέραιοι. |
| Εμφάνιση κλασμάτων ή δεκαδικών. | Οι κλασματικοί αριθμοί ή οι δεκαδικοί είναι πραγματικοί αριθμοί. | Ένας ακέραιος δεν μπορεί να είναι κλασματικός ή δεκαδικός αριθμός. |
| Αναπαράσταση στην Αριθμητική Γραμμή | Οποιοδήποτε σημείο στην αριθμητική γραμμή είναι πραγματικός αριθμός. | Οι ακέραιοι αριθμοί και τα αρνητικά τους στην αριθμητική γραμμή είναι ακέραιοι. |
| Μετρησιμότητα | Οι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα αμέτρητο άπειρο σύνολο. | Οι ακέραιοι σχηματίζουν ένα μετρήσιμο άπειρο σύνολο. |
| Σημειογραφικό σύμβολο | Το σύνολο όλων των Πραγματικών Αριθμών αντιπροσωπεύεται από "R" ή "ℝ". | Το σύνολο όλων των Ακεραίων αντιπροσωπεύεται από το "Z". |
| Προέλευση | Ο Ρενέ Ντεκάρτ επινόησε τον όρο «πραγματικό» τον 17ο αιώνα για να περιγράψει τις ρίζες ενός πολυωνύμου που δεν ήταν φανταστικές. Ονομάστηκαν «πραγματικοί» μόνο και μόνο επειδή δεν ήταν «φανταστικοί». | Το 1563, ο Arbermouth Holst επινόησε το σύστημα ακέραιων αριθμών για να τον βοηθήσει σε ένα πείραμα που αφορούσε κουνελάκια και ελέφαντες. Η λέξη "Integer" Integer έχει τις ρίζες της στη λατινική λέξη "integer" του 16ου αιώνα, που σημαίνει "ολόκληρο" ή "άθικτο". |
Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί;
Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν αναπόσπαστο μέρος του σύμπαν των αριθμών. Ο ρόλος τους στην ανάπτυξη των μαθηματικών είναι αναμφισβήτητα ζωτικός.
Οποιοσδήποτε αριθμός (εκτός από έναν φανταστικό αριθμό) που έρχεται στο μυαλό σας είναι πραγματικός.
Είτε είναι θετικό, αρνητικό, κλασματικό, παράλογο ή ακόμα και 0.
Ένας πραγματικός αριθμός, και επομένως τα υποσύνολά του (ακέραιοι αριθμοί, ρητοί αριθμοί, άρρητοι αριθμοί, φυσικοί αριθμοί και ακέραιοι αριθμοί), μπορούν να αναπαρασταθούν σε μια γραμμή φυσικών αριθμών.
Για να τους διακρίνει από τους φανταστικούς αριθμούς, ο Ντεκάρτ επινόησε τον όρο «πραγματικό» για να περιγράψει τις ρίζες ενός πολυωνύμου.
Επιτρέπεται να έχουν κλασματικές τιμές. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι που τους ξεχωρίζει από τους ακέραιους.
Οι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα αμέτρητο άπειρο. Αν πάρουμε δύο σημεία στην αριθμητική γραμμή, ας πούμε 0 και 1, υπάρχει ένας απεριόριστος αριθμός πραγματικών αριθμών μεταξύ των δύο σημείων.
Τα σύμβολα "R" ή "ℝ" αντιπροσωπεύουν ένα σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
Τι είναι οι ακέραιοι αριθμοί;
Το σύστημα ακέραιων αριθμών είναι ένα υποσύνολο του συστήματος πραγματικών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί είναι πραγματικοί αριθμοί. Ωστόσο, το αντίστροφο είναι αναληθές.
Μόνο οι ακέραιοι αριθμοί και τα αρνητικά τους μπορούν να θεωρηθούν ακέραιοι. Οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν αριθμούς μέτρησης όπως 0,1,2,3… και ούτω καθεξής.
Ο αποκλεισμός κλασματικών ή δεκαδικών τιμών καθιστά αυτό το σύστημα μοναδικό και πολύτιμο. Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν μια συναρπαστική ιστορία πίσω από την προέλευσή τους.
Το 1563, ο Arbermouth Holst διεξήγαγε ένα πείραμα με λαγουδάκια και ελέφαντες.
Να βοηθήσω αυτόν με αυτό το πείραμα, εφηύρε αυτό το σύστημα αριθμών. Η λέξη "Ακέραιος" έχει τις ρίζες της στο 16th-λατινική λέξη «ακέραιος» αιώνας, που σημαίνει «ολόκληρο» ή «άθικτο».
Αυτό το γεγονός ενισχύει περαιτέρω τη μη κλασματική φύση αυτού του συστήματος.
Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς, οι ακέραιοι σχηματίζουν ένα σύνολο μετρήσιμων άπειρων αριθμών. Αν πάρουμε δύο σημεία στη γραμμή φυσικών αριθμών, ας πούμε 0 και 1, δεν υπάρχουν ακέραιοι μεταξύ των δύο σημείων.
Το γράμμα "Z" αντιπροσωπεύει το σύνολο όλων των ακεραίων.
Κύριες διαφορές μεταξύ Πραγματικοί αριθμοί και Ακέραιοι
- Ακέραιοι, ορθολογικοί, παράλογοι, φυσικοί και ακέραιοι αριθμοί ταξινομούνται όλοι ως πραγματικοί αριθμοί. Μόνο οι ακέραιοι αριθμοί και τα αρνητικά τους ταξινομούνται ως Ακέραιοι.
- Τα κλάσματα και οι δεκαδικοί μπορούν να συμπεριληφθούν σε πραγματικούς αριθμούς αλλά όχι σε ακέραιους αριθμούς.
- Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γραμμή φυσικών αριθμών για να διακρίνουμε τα δύο συστήματα αριθμών. Οποιοδήποτε σημείο επιλέξετε σε αυτή τη γραμμή επιθυμών να είναι πραγματικός αριθμός. Οι ακέραιοι αριθμοί και τα αρνητικά τους στην αριθμητική γραμμή είναι ακέραιοι.
- Και τα δύο αυτά συστήματα αριθμών είναι άπειρα σύνολα στη φύση. Ωστόσο, οι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν μια αμέτρητη ατέρμονη ομάδα και οι Ακέραιοι περιλαμβάνουν ένα μετρήσιμο άπειρο σύνολο.
- Το σύνολο όλων των Πραγματικών Αριθμών αντιπροσωπεύεται από "R" ή "ℝ. Το σύνολο όλων των Ακεραίων αντιπροσωπεύεται από το "Z".
- https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/S002461150301428X
- https://eebweb.arizona.edu/Faculty/Dornhaus/courses/materials/papers/Gallistel%20Gelman%20numbers%20counting%20cognition.pdf
Τελευταία ενημέρωση: 11 Ιουνίου 2023
Έχω καταβάλει τόση προσπάθεια γράφοντας αυτήν την ανάρτηση ιστολογίου για να σας προσφέρω αξία. Θα είναι πολύ χρήσιμο για μένα, αν σκέφτεστε να το μοιραστείτε στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης ή με τους φίλους/την οικογένειά σας. Η ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ♥️
Η Emma Smith είναι κάτοχος μεταπτυχιακού διπλώματος στα αγγλικά από το Irvine Valley College. Είναι Δημοσιογράφος από το 2002, αρθρογραφώντας για την αγγλική γλώσσα, τον αθλητισμό και το δίκαιο. Διαβάστε περισσότερα για μένα σε αυτήν βιο σελίδα.
Η λεπτομερής σύγκριση παρέχει μια ολοκληρωμένη κατανόηση. Οι ιστορικές ρίζες των πραγματικών αριθμών και των ακεραίων είναι αρκετά συναρπαστικές.
Οι ιστορικές αναφορές εμπλουτίζουν πράγματι το περιεχόμενο. Είναι ενδιαφέρον να κατανοήσουμε την προέλευση.
Συμφωνώ απόλυτα! Η ιστορική θεμελίωση αυτών των εννοιών είναι σαγηνευτική.
Η διάκριση μεταξύ πραγματικών αριθμών και ακεραίων είναι καλά παρουσιασμένη. Το ιστορικό υπόβαθρο προσθέτει ένα επιπλέον επίπεδο ενδιαφέροντος στη συνολική εξήγηση.
Η συμπερίληψη της ιστορικής προέλευσης προσθέτει μια σαγηνευτική διάσταση στη σύγκριση.
Οπωσδήποτε, το ιστορικό πλαίσιο το κάνει πιο συναρπαστικό ανάγνωσμα.
Αυτή η λεπτομερής σύγκριση βοήθησε στο να διευκρινίσω τις αμφιβολίες μου σχετικά με τους πραγματικούς αριθμούς και τους ακέραιους αριθμούς. Οι ιστορικές αναφορές είναι επίσης συναρπαστικές.
Οπωσδήποτε, τα ιστορικά συμφραζόμενα το κάνουν ακόμα πιο ελκυστικό.
Η εξήγηση είναι λεπτομερής και κατατοπιστική, αλλά στερείται λίγη ζωντάνια για να συναρπάσει πραγματικά το κοινό.
Είναι αλήθεια ότι το περιεχόμενο θα μπορούσε να χρησιμοποιεί μερικά πιο ελκυστικά στοιχεία.
Συμφωνώ, μια πιο ελκυστική προσέγγιση θα μπορούσε να αυξήσει την ελκυστικότητα της ανάρτησης.
Μια καλά επεξηγημένη σύγκριση πραγματικών αριθμών και ακεραίων με πολύτιμες ιστορικές αναφορές. Η συμπερίληψη ιστοριών προέλευσης προσθέτει μια ενδιαφέρουσα πινελιά.
Πράγματι, οι ιστορικές αναφορές κάνουν το περιεχόμενο πιο σαγηνευτικό.
Η ανάρτηση παρουσιάζει πράγματι πολύτιμες γνώσεις, αλλά θα μπορούσε να είναι πιο σαγηνευτική με έναν ελκυστικό τόνο.
Οπωσδήποτε, ένας συναρπαστικός τόνος θα μπορούσε να βελτιώσει τη συνολική εμπειρία.
Αυτή είναι μια πολύ κατατοπιστική ανάρτηση που δίνει μια σαφή κατανόηση της έννοιας των πραγματικών αριθμών και των ακεραίων. Εκτιμώ πολύ τη λεπτομερή σύγκριση.
Συμφωνώ! Είναι πάντα υπέροχο να παρουσιάζονται πληροφορίες με τόσο οργανωμένο τρόπο.
Αν και οι πληροφορίες που παρουσιάζονται είναι πολύτιμες, θα μπορούσαν να οργανωθούν με πιο ελκυστικό τρόπο για να προσελκύσουν το ενδιαφέρον των αναγνωστών.
Νομίζω ότι το περιεχόμενο θα μπορούσε να είναι πιο δυναμικό και πιο ελκυστικό.
Συμφωνώ, ίσως κάποια οπτικά βοηθήματα θα μπορούσαν να το κάνουν πιο ελκυστικό.
Θεωρώ ότι το πλαίσιο είναι αρκετά πολύτιμο και σαφές. Παρέχει μια πλήρη κατανόηση του θέματος.
Σίγουρα! Η εξήγηση είναι αρκετά περιεκτική και διορατική.
Ο ενημερωτικός χαρακτήρας αυτού του άρθρου είναι αξιοσημείωτος και η σύγκριση είναι λεπτομερής.
Σύμφωνος! Η λεπτομερής σύγκριση το κατέστησε πολύ σαφές.
Βρήκα τις εξηγήσεις αρκετά διαφωτιστικές.