Parabool vs hüperbool: erinevus ja võrdlus

Koonuslõige on kõver, mis saadakse, kui tasapind lõikub koonusega teatud kindla nurga all. Seal on kolm koonuseosa – ellips, parabool ja hüperbool.

Ellips on tasapinnaline kõver, millel on kaks ringi meenutavat fookuspunkti. Parabool ja hüperbool on aga segased lõigud.

Võtme tagasivõtmine

1. Paraboolid on U-kujulised kõverad, mis esindavad ruutfunktsioone, millel on üks sümmeetriatelg ja üks tipp.
2. Hüperboolid koosnevad kahest erinevast kõverast, mis tähistavad punkte, kus kahe fookuse vaheline kaugus on pidevalt erinev.
3. Nii paraboolid kui ka hüperboolid on koonilised lõigud, kuid neil on erinev kuju ja matemaatilised omadused, kusjuures paraboolidel on üks haru ja hüperboolidel kaks haru.

Parabool vs hüperbool

Parabool on U-kujuline kõver, mis on sümmeetriline ümber oma telje. Seevastu hüperbool on teatud tüüpi kõver, millel on kaks haru, mis avanevad üles või alla ja on sümmeetrilised oma keskpunkti ümber. Matemaatikas on neid esindatud erinevad võrrandid ja neil on erinevad omadused.

Parabool on üks avatud kõver, mis ulatub lõpmatuseni. See on U-kujuline ja sellel on üks fookus ja üks suund.

Hüperbool on avatud kõver, millel on kaks omavahel ühendamata haru. Sellel on kaks fookust ja kaks suunajat, üks kummalegi üksus.

---

 

Võrdlustabel

Võrdlusparameeter	Parabool	Hüperbool
Määratlus	Parabool on punktide asukoht, mille fookus ja suund on võrdsel kaugusel.	Hüperbool on punktide asukoht, mille kahe fookuse vahe on pidev.
kuju	Parabool on avatud kõver, millel on üks fookus ja üks suund.	Hüperbool on avatud kõver kahe haru, kahe fookuse ja kahe suunaga.
Ekstsentrilisus	Parabooli mittenegatiivne ekstsentrilisus on üks.	Hüperbooli mittenegatiivne ekstsentrilisus e on olulisem kui üks.
Lennuki ristmik	Tasapinna lõikekoht on paralleelne (ideaaljuhul) koonuse kaldkõrgusega.	Tasapinna lõikepunkt on paralleelne (ideaaljuhul) topeltkoonuse risti kõrgusega.
Üldvõrrand	Parabooli üldvõrrand on y = ax², a ≠ 0	Hüperbooli üldvõrrand on x²/a² – y²/b² = 1

---

 

Mis on parabool?

Parabool on kõigi punktist ja sirgest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht. Seda punkti nimetatakse fookuseks ja seda joont nimetatakse suunavaks.

Parabool tekib siis, kui tasapind lõikub koonusega paralleelses suunas (ideaaljuhul) selle kaldega kõrgus.

Parabooli üldvõrrand on antud kujul

y = ax², a ≠ 0

A väärtus määrab kõvera kuju.

Kui a > 0, avaneb parabooli suu ülespoole.

Kui < 0, avaneb parabooli suu põhja.

Ülaltoodud parabooli fookus on (0, 1/4a). Directrix on (-1/4a).

Kui aga a=1, nimetatakse parabooli ühikparabooliks.

Parabooli ekstsentrilisus on üks.

Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes. Lõpmatul kaugusel paistavad kõverad paralleelsete joontena.

 

Mis on hüperbool?

Hüperbool on kõigi punktide asukoht, millel on konstantne erinevus kahe erineva punkti vahel. Neid punkte nimetatakse hüperbooli fookusteks.

Hüperbool tekib siis, kui tahke tasapind lõikub koonusega selle risti kõrgusega paralleelses suunas.

Hüperbooli üldvõrrand on antud kujul

(x-α) ²/a² – (y-β)²/b² = 1

Ülaltoodud hüperbooli fookused on ( α ± sqrt( a²+b²), β).

Tipud on (±a, β).

Hüperbooli ekstsentrilisus on olulisem kui üks.

Hüperboolil on kaks sümmeetriatelge. Need on risttelg ja konjugaadi telg.

---

Peamised erinevused parabooli ja hüperbooli vahel

Parabool ja hüperbool on koonilised lõigud. Neil on erinev kuju ja omadused.

Peamised erinevused nende kahe vahel on järgmised:

1. Parabool on kõigi punktide asukoht, mille fookus ja suund on võrdsel kaugusel. Teisest küljest on hüperbool kõigi probleemide koht, mille puhul kahe fookuse vahelise kauguse erinevus on konstantne.
2. Parabool on avatud kõver, millel on üks fookus ja suund, samas kui hüperbool on avatud kõver, millel on kaks haru, millel on kaks fookust ja suund.
3. Parabooli ekstsentrilisus on üks, samas kui hüperbooli ekstsentrilisus on olulisem kui üks.
4. Parabool tekib siis, kui tasapind lõikub koonusega piki selle kaldkõrgust. Teisest küljest tekib hüperbool, kui tasapind lõikub koonusega piki selle risti kõrgust.
5. Parabooli võrrand on y = ax². Teisest küljest on hüperbooli võrrand x²/a² – y²/b² = 1.

---

viited

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ao-54-24-7148
2. https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/68/4/537/449711

Viimati värskendatud: 11. juunil 2023