Pistetuotteen laskin

Ohjeet:

• Syötä vektorit A ja B ja valitse operaatio.
• Napsauta "Laske" suorittaaksesi laskutoimituksen.
• Katso tulos, laskentatiedot ja historia alta.
• Napsauta "Tyhjennä" nollataksesi syötteet ja tulokset.
• Napsauta "Kopioi" kopioidaksesi tulos leikepöydälle.

Vektori A:

Vektori B:

Valitse toiminta: Pistetuote Risti Tuote

laskettu Poista valinta kopio

Tulos:

Laskennan tiedot:

Laskuhistoria:

Pistetulolaskin on työkalu, joka laskee kahden vektorin pistetulon. Se on perustavanlaatuinen tapa yhdistää kaksi vektoria, ja sitä käytetään laajalti matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa.

käsitteet

Pistetulo on algebrallinen operaatio, joka ottaa kaksi yhtä pitkää numerosarjaa, koordinaattivektoria ja palauttaa yhden luvun. Se tunnetaan myös skalaaritulona. Pistetulo mittaa kahden vektorin suhteellista suuntaa. Se kertoo meille jotain siitä, kuinka paljon kaksi vektoria osoittavat samaan suuntaan.

kaavat

Kirjoitamme pistetulon pienellä pisteellä ⋅ kahden vektorin väliin (lausutaan "a piste b"):

a → ⋅ b → = ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ)

Jos jaamme tämän tekijältä, kaksi ensimmäistä ovat ‖ a → ‖ ja ‖ b → ‖. Nämä ovat a → ja b → magnitudit, joten pistetulo ottaa huomioon vektorien pituuden. Lopullinen kerroin on cos ( θ), jossa θ on a → ja b → välinen kulma. Tämä kertoo meille, että pistetulolla on tekemistä suunnan kanssa. Tarkemmin sanottuna, kun θ = 0, kaksi vektoria osoittavat täsmälleen samaan suuntaan. Ottamatta huomioon vektorien suuruutta, tämä on silloin, kun pistetulo on suurin, koska cos ( 0) = 1. Yleensä mitä enemmän kaksi vektoria osoittaa samaan suuntaan, sitä suurempi niiden välinen pistetulo on.

Toinen tapa ajatella θ:ta on kuvitella yhden vektorin pudottavan varjon toiselle. Kun kulma on pieni, varjo laskeutuu kauas alkuperästä ja pistetulo on suuri. Kun θ on lähellä arvoa π/2, varjo laskeutuu lähelle origoa ja pistetulo on pieni.

Kun meidän on löydettävä pistetulo monimuuttujalaskennassa, meillä on vain a → ja b → koordinaatit. ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ) laskeminen pakottaisi meidät löytämään kaksi neliöjuurta ja kosinin, mikä on paljon työtä! Onneksi on helpompikin tapa. Kerro vain vastaavat komponentit ja lisää sitten:

a → = ( ​​a 1, a 2, a 3) b → = ( ​​b 1, b 2, b 3) a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Tämä kaava ulottuu minkä tahansa pituisille vektoreille.

Hyödyt

Pistetuotteella on monia etuja. Sitä käytetään fysiikassa voiman työn laskemiseen, tietokonegrafiikassa valaistuksen ja varjostuksen laskemiseen ja koneoppimisessa vektorien samankaltaisuuden laskemiseen. Sitä käytetään myös suunnittelussa akselin vääntömomentin laskemiseen ja navigoinnissa kahden pisteen välisen etäisyyden laskemiseen.

Mielenkiintoisia seikkoja

• Pistetulo on kommutatiivinen, mikä tarkoittaa, että a → ⋅ b → = b → ⋅ a →.
• Pistetulo on distributiivinen, mikä tarkoittaa, että a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c →.
• Pistetulo ei ole assosiatiivinen, mikä tarkoittaa, että a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) ≠ ( a → ⋅ b → ) ⋅ c →.

Viimeksi päivitetty: 11. joulukuuta 2023