Les axiomes servent de pierre angulaire aux énoncés mathématiques ou aux explications logiques, ainsi qu'au point de départ des théorèmes.
Les axiomes plus une collection d'autres connecteurs logiques sont fréquemment utilisés pour dériver des théorèmes.
Faits marquants
- Les axiomes sont des vérités évidentes ou des principes de base qui n'ont besoin d'aucune preuve ou justification.
- Les théorèmes sont des propositions qui nécessitent une preuve logique pour établir leur vérité.
- Les théorèmes s'appuient sur des axiomes et des théorèmes déjà éprouvés pour élargir notre compréhension des concepts mathématiques.
Axiome vs Théorème
Les axiomes sont des hypothèses de base qui sont acceptées sans preuve, tandis que les théorèmes sont des énoncés qui peuvent être logiquement déduits d'axiomes et de théorèmes déjà prouvés. Les théorèmes fournissent de nouvelles perspectives et une nouvelle compréhension des concepts mathématiques, tandis que les axiomes donnent une fondation pour le raisonnement mathématique.
Les axiomes sont des vérités largement reconnues et acceptées. Cependant, ils n'ont aucune sorte de preuve particulière ou de moyen pratique pour étayer cette affirmation.
La majorité des axiomes sont confrontés à plusieurs défis de la part de personnes ayant un esprit intellectuel. Avec le temps, il deviendra clair s'il s'agit de génies ou de fous.
Les axiomes non logiques et logiques sont divisés en deux catégories en fonction de leur statut d'acceptation.
Les théorèmes sont démontrés à l'aide d'autres énoncés, tels que des axiomes ou des propositions universellement acceptées.
Les théorèmes, par opposition aux axiomes, sont plus susceptibles de rencontrer des difficultés car ils sont soumis à une variété de méthodes de dérivation et d'interprétations.
La conclusion et l'hypothèse sont utilisées pour catégoriser les théorèmes. Peu importe qu'un théorème soit vrai ou faux ; il faut le prouver.
Tableau de comparaison
| Paramètres de comparaison | Axiome | Théorème |
|---|---|---|
| Vérité | Considéré comme vrai, toujours. | C'est peut-être vrai, peut-être pas vrai. |
| Acceptation | Universellement accepté | Ne peuvent être acceptées que s'il est prouvé qu'elles sont vraies. |
| Les défis rencontrés | Comparativement moins | Comparativement élevé |
| Fondation | Dirigé par des axiomes | Les théorèmes sont dérivés des axiomes |
| Preuves | Ne nécessite pas de preuve | Nécessite une preuve |
Qu'est-ce qu'Axiom ?
Les axiomes sont universellement supposés et acceptés comme vrais. Les axiomes servent de pierre angulaire aux énoncés mathématiques ou aux explications logiques, ainsi qu'au point d'initiation des théorèmes.
La majorité des axiomes sont contestés par une variété d'individus dotés d'esprits intellectuels. Cependant, avec le temps, il deviendra clair s'il s'agit de génies ou de fous.
Les axiomes sont classés comme non logiques ou logiques en fonction de leur statut d'acceptation.
Un axiome est une déclaration correcte, en particulier fondée sur la logique, qui ne peut être ni démontrée ni prouvée. Ceux-ci, en revanche, sont souvent considérés comme allant de soi.
Les axiomes sont des vérités largement reconnues et acceptées. Cependant, ils ne disposent d'aucune forme de preuve particulière ni d'aucun moyen pratique pour étayer cette affirmation.
Les axiomes non logiques, en revanche, sont des formulations logiques utilisées dans la construction de théories mathématiques. Il n'y a pas exigence pour tout type de preuve dans le cas d'un axiome.
Les assertions valides reconnues sont appelées axiomes logiques.
Qu'est-ce que le théorème ?
Les théorèmes ne peuvent pas toujours être présumés corrects. Ils peuvent même être trompeurs.
Les théorèmes sont souvent dérivés d'axiomes et d'un ensemble de connecteurs logiques supplémentaires qui existent déjà. Peu importe qu'un théorème soit vrai ou faux ; il faut des preuves.
Dans la plupart des cas, les théorèmes rencontrent plus de difficultés que les axiomes car ils sont soumis à une variété de méthodes de dérivation et d'interprétations.
Les deux composantes d'un théorème, telles que la conclusion et l'hypothèse, sont fréquemment utilisées pour les catégoriser.
Un théorème, par définition, est une déclaration qui est prouvée à l'aide de théorèmes, d'axiomes et d'un ensemble d'autres connecteurs logiques précédents.
Les théorèmes sont établis à l'aide d'arguments logiques et de mathématiques rigoureuses.
Les théorèmes sont souvent prouvés à l'aide d'affirmations supplémentaires, telles que des axiomes ou des propositions universellement acceptées.
Différences principales entre l'axiome et le théorème
- Un axiome est considéré comme un énoncé vrai, notamment basé sur la logique, qui ne peut être ni démontré ni prouvé. Toutefois, celles-ci sont considérées comme allant de soi.
- D'un autre côté, par définition, un théorème est considéré comme un énoncé prouvé à l'aide d'autres théorèmes, axiomes et un ensemble d'autres connecteurs logiques.
- Les axiomes sont universellement acceptés et sont considérés comme vrais. Cependant, ils ne possèdent aucun type de preuve spécifique ni aucun moyen pratique de prouver cette affirmation.
- D’un autre côté, grâce à un raisonnement logique et à des mathématiques rigoureuses, les théorèmes sont prouvés. Les énoncés par lesquels les théorèmes sont prouvés le sont à l'aide d'autres énoncés comme des axiomes ou des énoncés universellement acceptés.
- La majorité des axiomes sont confrontés à de nombreux défis par diverses personnes possédant un esprit intellectuel. Cependant, avec le temps, on peut savoir qu'ils sont des génies ou des cinglés.
- D'autre part, la plupart du temps, les théorèmes sont sujets à plus de défis par rapport aux axiomes car ils sont soumis à diverses méthodes de dérivation et interprétations.
- Les axiomes sont classés en fonction de leur statut d'acceptation comme non logiques et logiques. Les axiomes logiques font référence à des déclarations valides qui sont universellement acceptées, tandis que les axiomes non logiques font référence aux expressions logiques utilisées dans l'élaboration de théories mathématiques.
- D'autre part, les théorèmes sont classés en fonction des deux composantes qu'ils possèdent, comme la conclusion et l'hypothèse.
- Dans le cas d'un axiome, aucun type de preuve n'est requis. D'autre part, dans le cas d'un théorème, peu importe qu'il soit vrai ou faux, mais il a besoin d'une preuve.
- Universellement, les axiomes sont supposés et considérés comme vrais. D'autre part, les théorèmes ne peuvent pas être supposés toujours vrais. Ils peuvent même être faux.
- La pierre angulaire des énoncés mathématiques ou des explications logiques est LED par les axiomes, car ils servent aussi de point de départ aux théorèmes. D'un autre côté, les théorèmes sont dérivés des axiomes et d'un ensemble d'autres connecteurs logiques existants.
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0049237X0871111X
- https://arxiv.org/abs/2108.13336
Dernière mise à jour : 11 juin 2023
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Piyush Yadav a passé les 25 dernières années à travailler comme physicien dans la communauté locale. C'est un physicien passionné par l'idée de rendre la science plus accessible à nos lecteurs. Il est titulaire d'un baccalauréat en sciences naturelles et d'un diplôme d'études supérieures en sciences de l'environnement. Vous pouvez en savoir plus sur lui sur son page bio.
J'ai trouvé la comparaison fournie dans cet article exceptionnelle. L’affirmation selon laquelle les théorèmes nécessitent une preuve alors que les axiomes n’en ont pas besoin est un élément clé à retenir. Il serait bénéfique d’approfondir les exemples historiques d’axiomes difficiles pour étayer la discussion.
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Je ne suis pas d'accord avec l'affirmation de l'article selon laquelle les axiomes sont universellement acceptés. Il existe de nombreux axiomes difficiles qui sont encore débattus par les intellectuels. La distinction entre les axiomes logiques et non logiques est cruciale pour ce discours.
Cet article met en lumière les différences fondamentales entre axiomes et théorèmes. J'ai été particulièrement intrigué par le concept d'axiomes non logiques et leur importance dans les théories mathématiques.
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