Approche lagrangienne vs eulérienne : différence et comparaison

Faits marquants

1. La vision lagrangienne suit une parcelle fluide individuelle à mesure qu'elle se déplace dans l'espace et le temps. La vision eulérienne se concentre sur des endroits spécifiques de l’espace à travers lesquels le fluide s’écoule.
2. Dans les spécifications lagrangiennes, les coordonnées se déplacent avec les parcelles fluides, ce qui est donc utile pour suivre les trajectoires, les déformations et les rotations. Les coordonnées eulériennes sont fixes dans l'espace donc meilleures pour analyser les flux, les vitesses, les accélérations.
3. L'approche lagrangienne est couramment utilisée pour suivre les courants océaniques, les masses d'air atmosphériques et les trajectoires des engins spatiaux. L'approche eulérienne fonctionne bien pour les problèmes impliquant des équipements fixes tels que des turbines, des pompes ou des ailes d'avion.

Qu’est-ce que l’approche lagrangienne ?

L'approche lagrangienne, également connue sous le nom de formalisme lagrangien ou mécanique lagrangienne, est un cadre mathématique et conceptuel utilisé en physique pour décrire la dynamique d'un système. Il fournit une formulation alternative à l’approche newtonienne plus traditionnelle pour analyser le mouvement des particules et des systèmes. L'approche lagrangienne est particulièrement utile pour les systèmes présentant des contraintes complexes, des coordonnées non cartésiennes et des principes d'invariance, car elle simplifie l'analyse mathématique et offre un aperçu des symétries sous-jacentes du système.

L'approche lagrangienne offre plusieurs avantages, notamment sa capacité à gérer les contraintes et à révéler les symétries et les lois de conservation associées au système. Il est largement utilisé en mécanique classique, en mécanique quantique, en théorie des champs et dans d’autres domaines de la physique où l’approche newtonienne peut devenir lourde ou moins perspicace.

Qu’est-ce que l’approche eulérienne ?

L'approche eulérienne est un cadre mathématique et informatique qui analyse la dynamique des fluides, en particulier dans l'étude du mouvement et du comportement des fluides. Il porte le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui a apporté d'importantes contributions à divers domaines des mathématiques et de la physique, notamment la dynamique des fluides.

L'approche eulérienne fournit un cadre puissant pour étudier la dynamique des fluides dans des situations où le comportement collectif d'un fluide est d'un intérêt primordial. Il est couramment utilisé en météorologie, en hydrodynamique, en aérodynamique et dans tout domaine où il est crucial de comprendre comment les fluides se déplacent et interagissent.

Différence entre les approches lagrangienne et eulérienne

1. Le lagrangien se concentre sur le suivi du mouvement de particules ou d'objets individuels lorsqu'ils se déplacent dans l'espace. Chaque particule se voit attribuer des coordonnées spécifiques qui évoluent dans le temps. Eulérien se concentre sur l'observation du flux d'une substance en des points fixes de l'espace, quelles que soient les particules qui occupent ces points. Les coordonnées restent fixes tandis que les propriétés du fluide varient.
2. Le lagrangien décrit des propriétés telles que la vitesse, la position et l'élan de chaque particule individuelle directement en termes de temps et de coordonnées spécifiques aux particules. Eulérien décrit des propriétés telles que la vitesse, la pression et la densité comme des fonctions continues des coordonnées spatiales et du temps.
3. Lagrangien dérive des équations de mouvement en considérant le principe d'action, conduisant à des équations différentielles du second ordre pour les coordonnées de chaque particule. Eulérien dérive des équations aux dérivées partielles (EDP) qui décrivent comment les propriétés des fluides changent à des points spécifiques de l'espace et du temps, en fonction des conditions environnantes.
4. Le lagrangien est particulièrement utile pour étudier les trajectoires de particules individuelles, la mécanique des systèmes discrets et les systèmes avec contraintes. L'Eulerian est bien adapté à l'analyse des modèles d'écoulement à grande échelle, des turbulences et des comportements impliquant de nombreuses particules, comme la dynamique des fluides.
5. Le lagrangien est utile pour les simulations basées sur les particules et le suivi du comportement des particules individuelles, mais peut nécessiter beaucoup de calculs pour de nombreuses particules. Eulerian est utilisé dans les simulations basées sur une grille (Computational Fluid Dynamics, ou CFD), où les propriétés sont calculées sur une grille fixe, permettant une gestion efficace de l'écoulement des fluides sur une large gamme d'échelles.

Comparaison entre les approches lagrangienne et eulérienne

Paramètres de comparaison	Approche lagrangienne	Approche eulérienne
Évolution temporelle	Suit les trajectoires des particules individuelles.	Observe les propriétés des fluides à des points spatiaux fixes.
Équations de mouvement	Implique des équations différentielles du second ordre.	Implique des équations aux dérivées partielles (PDE).
Identification des particules	Chaque particule a des coordonnées uniques.	Se concentre sur les propriétés des fluides à des coordonnées fixes.
Interaction des particules	Convient aux systèmes avec peu de pièces en interaction.	Efficace pour analyser les interactions fluides complexes.
Gestion des contraintes	Utile pour étudier des systèmes avec des contraintes.	Moins soucieux des contraintes, plus macroscopique.

Bibliographie

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1352231014000946
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0032591019308204

Dernière mise à jour : 14 octobre 2023