अभिगृहीत गणितीय कथनों या तार्किक व्याख्याओं की आधारशिला के साथ-साथ प्रमेयों के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करते हैं।
प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए सिद्धांतों और अन्य तार्किक संयोजकों के संग्रह का अक्सर उपयोग किया जाता है।
चाबी छीन लेना
- स्वयंसिद्ध स्वयं-स्पष्ट सत्य या बुनियादी सिद्धांत हैं जिन्हें किसी प्रमाण या औचित्य की आवश्यकता नहीं है।
- प्रमेय ऐसे प्रस्ताव हैं जिनकी सत्यता स्थापित करने के लिए तार्किक प्रमाण की आवश्यकता होती है।
- गणितीय अवधारणाओं की हमारी समझ का विस्तार करने के लिए प्रमेय सिद्धांतों और पहले से सिद्ध प्रमेयों पर आधारित हैं।
अभिगृहीत बनाम प्रमेय
स्वयंसिद्ध मूल धारणाएँ हैं जिन्हें बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है, जबकि प्रमेय ऐसे कथन हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध और पहले से सिद्ध प्रमेयों से तार्किक रूप से निकाला जा सकता है। प्रमेय गणितीय अवधारणाओं की नई अंतर्दृष्टि और समझ प्रदान करते हैं, जबकि स्वयंसिद्ध बुनियाद गणितीय तर्क के लिए.
सूक्तियाँ व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त और स्वीकृत सत्य हैं। हालाँकि, उनके पास उस दावे का समर्थन करने के लिए कोई विशेष सबूत या व्यावहारिक तरीका नहीं है।
अधिकांश स्वयंसिद्धों को बौद्धिक दिमाग वाले लोगों की ओर से कई चुनौतियों का सामना करना पड़ता है। समय के साथ यह स्पष्ट हो जाएगा कि वे प्रतिभाशाली हैं या पागल।
गैर-तार्किक और तार्किक सिद्धांतों को उनकी स्वीकृति स्थिति के आधार पर दो श्रेणियों में विभाजित किया गया है।
प्रमेयों को अन्य कथनों, जैसे स्वयंसिद्ध या सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत प्रस्तावों का उपयोग करके प्रदर्शित किया जाता है।
सिद्धांतों के विपरीत, प्रमेयों में कठिनाइयों का सामना करने की अधिक संभावना होती है क्योंकि वे विभिन्न प्रकार की व्युत्पत्ति विधियों और व्याख्याओं के अधीन होते हैं।
प्रमेयों को वर्गीकृत करने के लिए निष्कर्ष और परिकल्पना का उपयोग किया जाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई प्रमेय सत्य है या असत्य; इसे सिद्ध करने की जरूरत है.
तुलना तालिका
| तुलना के पैरामीटर | स्वयंसिद्ध | प्रमेय |
|---|---|---|
| सत्य | सदैव सत्य माना जाता है। | यह सच हो सकता है, सच नहीं भी हो सकता है. |
| स्वीकृति | सार्वभौमिक रूप से स्वीकार किया गया | इन्हें सत्य सिद्ध होने पर ही स्वीकार किया जा सकता है। |
| चुनौतियों का सामना करना पड़ा | अपेक्षाकृत कम | तुलनात्मक रूप से उच्च |
| बुनियाद | स्वयंसिद्धों द्वारा नेतृत्व किया गया | प्रमेय स्वयंसिद्धों से प्राप्त होते हैं |
| प्रमाण | प्रमाण की आवश्यकता नहीं है | प्रमाण की आवश्यकता है |
एक्सिओम क्या है?
स्वयंसिद्धों को सार्वभौमिक रूप से सत्य माना और स्वीकार किया जाता है। अभिगृहीत गणितीय कथनों या तार्किक व्याख्याओं की आधारशिला के साथ-साथ प्रमेयों की शुरुआत के बिंदु के रूप में कार्य करते हैं।
अधिकांश स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को बौद्धिक दिमाग वाले विभिन्न व्यक्तियों द्वारा चुनौती दी जाती है। हालाँकि, समय के साथ यह स्पष्ट हो जाएगा कि वे प्रतिभाशाली हैं या पागल।
स्वयंसिद्धों को उनकी स्वीकृति स्थिति के आधार पर गैर-तार्किक या तार्किक के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
एक स्वयंसिद्ध एक सही कथन है, विशेष रूप से तर्क पर आधारित, जिसे प्रदर्शित या सिद्ध नहीं किया जा सकता है। दूसरी ओर, इन्हें अक्सर स्व-स्पष्ट के रूप में देखा जाता है।
स्वयंसिद्ध बातें व्यापक रूप से स्वीकृत और स्वीकार्य सत्य हैं। हालाँकि, उनके पास उस दावे का समर्थन करने के लिए कोई विशेष सबूत या कोई व्यावहारिक तरीका नहीं है।
दूसरी ओर, गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध तार्किक सूत्रीकरण हैं जिनका उपयोग गणितीय सिद्धांतों के निर्माण में किया जाता है। कोई नहीं है आवश्यकता स्वयंसिद्ध मामले में किसी भी प्रकार के साक्ष्य के लिए।
जिन मान्य दावों को स्वीकार किया जाता है उन्हें तार्किक स्वयंसिद्ध कहा जाता है।
प्रमेय क्या है?
प्रमेयों को हमेशा सही नहीं माना जा सकता। वे भ्रामक भी हो सकते हैं.
प्रमेय अक्सर स्वयंसिद्धों और पहले से मौजूद अतिरिक्त तार्किक संयोजकों के एक सेट से प्राप्त होते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई प्रमेय सत्य है या असत्य; इसके लिए साक्ष्य की आवश्यकता है.
ज्यादातर मामलों में, प्रमेयों को स्वयंसिद्धों की तुलना में अधिक कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है क्योंकि वे विभिन्न प्रकार की व्युत्पत्ति विधियों और व्याख्याओं के अधीन होते हैं।
किसी प्रमेय के दो घटकों, जैसे निष्कर्ष और परिकल्पना, को अक्सर वर्गीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार, एक प्रमेय एक कथन है जो पिछले प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और अन्य तार्किक संयोजकों के एक सेट का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है।
तार्किक तर्क और कठोर गणित का उपयोग करके प्रमेय स्थापित किए जाते हैं।
प्रमेयों को अक्सर अतिरिक्त दावों, जैसे स्वयंसिद्ध या सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत प्रस्तावों की मदद से सिद्ध किया जाता है।
अभिगृहीत और प्रमेय के बीच मुख्य अंतर
- एक स्वयंसिद्ध कथन को सच्चा कथन माना जाता है, विशेष रूप से तर्क-आधारित, जिसे प्रदर्शित या सिद्ध नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, इन्हें स्वयंसिद्ध माना जाता है।
- दूसरी ओर, परिभाषा के अनुसार, एक प्रमेय को एक कथन माना जाता है जिसे अन्य प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और अन्य तार्किक संयोजकों के एक सेट की सहायता से सिद्ध किया जाता है।
- सूक्तियाँ सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत हैं और सत्य मानी जाती हैं। हालाँकि, उनके पास उस कथन को साबित करने के लिए किसी भी प्रकार का विशिष्ट प्रमाण या कोई व्यावहारिक तरीका नहीं है।
- दूसरी ओर, तार्किक तर्क और कठोर गणित की सहायता से प्रमेयों को सिद्ध किया जाता है। जिन कथनों के माध्यम से प्रमेयों को सिद्ध किया जाता है, उन्हें अन्य कथनों जैसे स्वयंसिद्ध या सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत कथनों की सहायता से सिद्ध किया जाता है।
- अधिकांश स्वयंसिद्धों को बौद्धिक दिमाग रखने वाले विभिन्न व्यक्तियों द्वारा बहुत सारी चुनौतियों का सामना करना पड़ता है। हालाँकि, समय के साथ यह पता चल जाता है कि वे जीनियस हैं या चापलूस।
- दूसरी ओर, अधिकांश समय, प्रमेयों में स्वयंसिद्धों की तुलना में अधिक चुनौतियों का सामना करना पड़ता है क्योंकि वे विभिन्न व्युत्पत्ति विधियों और व्याख्याओं के अधीन होते हैं।
- स्वयंसिद्धों को उनकी स्वीकार्यता की स्थिति के आधार पर गैर-तार्किक और तार्किक के रूप में वर्गीकृत किया गया है। तार्किक स्वयंसिद्ध उन मान्य कथनों को संदर्भित करते हैं जो सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत होते हैं, जबकि गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध उन तार्किक अभिव्यक्तियों को संदर्भित करते हैं जिनका उपयोग गणितीय सिद्धांतों के निर्माण में किया जाता है।
- दूसरी ओर, प्रमेयों को उनके दो घटकों, जैसे निष्कर्ष और परिकल्पना, के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
- स्वयंसिद्ध के मामले में किसी भी प्रकार के प्रमाण की आवश्यकता नहीं होती है। दूसरी ओर, एक प्रमेय के मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह सत्य है या गलत, लेकिन इसके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है।
- सार्वभौमिक रूप से, स्वयंसिद्धों को मान लिया जाता है और सत्य माना जाता है। दूसरी ओर, प्रमेयों को हमेशा सत्य नहीं माना जा सकता। ये झूठे भी हो सकते हैं.
- गणितीय कथनों या तार्किक व्याख्याओं की आधारशिला है नेतृत्व में स्वयंसिद्धों द्वारा, क्योंकि वे प्रमेयों की शुरुआत के बिंदु के रूप में भी कार्य करते हैं। दूसरी ओर, प्रमेय स्वयंसिद्धों और अन्य मौजूदा तार्किक संयोजकों के एक सेट से प्राप्त होते हैं।
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0049237X0871111X
- https://arxiv.org/abs/2108.13336
अंतिम अद्यतन: 11 जून, 2023
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पीयूष यादव ने पिछले 25 साल स्थानीय समुदाय में भौतिक विज्ञानी के रूप में काम करते हुए बिताए हैं। वह एक भौतिक विज्ञानी हैं जो विज्ञान को हमारे पाठकों के लिए अधिक सुलभ बनाने के लिए उत्सुक हैं। उनके पास प्राकृतिक विज्ञान में बीएससी और पर्यावरण विज्ञान में स्नातकोत्तर डिप्लोमा है। आप उनके बारे में और अधिक पढ़ सकते हैं जैव पृष्ठ.
मुझे इस लेख में दी गई तुलना उत्कृष्ट लगी। यह दावा कि प्रमेयों को प्रमाण की आवश्यकता होती है जबकि स्वयंसिद्धों को नहीं, एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष है। चर्चा का समर्थन करने के लिए चुनौतीपूर्ण सिद्धांतों के ऐतिहासिक उदाहरणों में गहराई से जाना फायदेमंद होगा।
लेख ने दो अवधारणाओं के बीच स्पष्ट अंतर प्रस्तुत करते हुए, सिद्धांतों और प्रमेयों का एक व्यापक अवलोकन प्रदान किया। उद्धृत संदर्भ प्रस्तुत सामग्री को विश्वसनीयता भी प्रदान करते हैं।
मुझे यह लेख बहुत ज्ञानवर्धक और जानकारीपूर्ण लगा। मैं तुलना तालिका और स्वयंसिद्ध और प्रमेय दोनों के लिए प्रदान की गई स्पष्ट परिभाषाओं की सराहना करता हूं। इसने वास्तव में प्रत्येक के बारे में मेरी समझ को मजबूत करने में मदद की।
मैं लेख के इस दावे से असहमत हूं कि सिद्धांतों को सार्वभौमिक रूप से स्वीकार किया जा रहा है। ऐसे कई चुनौतीपूर्ण सिद्धांत हैं जिन पर अभी भी बुद्धिजीवियों द्वारा बहस की जाती है। तार्किक और गैर-तार्किक सिद्धांतों के बीच अंतर इस चर्चा के लिए महत्वपूर्ण है।
यह लेख स्वयंसिद्ध और प्रमेयों के बीच मूलभूत अंतर पर प्रकाश डालता है। मैं विशेष रूप से गैर-तार्किक स्वयंसिद्धों की अवधारणा और गणितीय सिद्धांतों में उनके महत्व से उत्सुक था।
तुलना तालिका स्वयंसिद्धों और प्रमेयों के बीच असमानताओं को चित्रित करने में सहायक थी। यह इन अवधारणाओं की विभिन्न विशेषताओं को समझने के लिए एक मूल्यवान दृश्य सहायता के रूप में कार्य करता है।