एकीकरण बनाम आंशिक एकीकरण: अंतर और तुलना

सूत्र या आंशिक विधियों का उपयोग करके अभिन्न कार्यों को हल करना एकीकरण कहलाता है। इसके अलावा, विभेदीकरण और एकीकरण कैलकुलस के दो सबसे मौलिक, आवश्यक संचालन हैं।

यह गणित और भौतिकी की समस्याओं को समझने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है; चर आकार का क्षेत्रफल, वक्र की दूरी और ठोस का आयतन।

चाबी छीन लेना

1. एकीकरण एक वक्र के नीचे के क्षेत्र या किसी फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव की गणना करता है, जो एक विशिष्ट अंतराल पर एक चर के संचित मूल्य को खोजने का एक तरीका प्रदान करता है, जबकि आंशिक एकीकरण, जिसे भागों द्वारा एकीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक तकनीक है जिसका उपयोग दो के उत्पादों को एकीकृत करने के लिए किया जाता है। कार्य.
2. कैलकुलस में एकीकरण एक मौलिक अवधारणा है, जो गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू होती है। इसके विपरीत, आंशिक एकीकरण एकीकरण के भीतर एक विशिष्ट विधि है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब मानक एकीकरण तकनीकें लागू नहीं होती हैं।
3. एकीकरण विभिन्न नियमों पर निर्भर करता है, जैसे शक्ति, श्रृंखला और प्रतिस्थापन विधियाँ। इसके विपरीत, आंशिक एकीकरण विभेदीकरण के लिए उत्पाद नियम पर आधारित है, जो अधिक जटिल अभिन्नों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण की अनुमति देता है।

एकीकरण बनाम आंशिक एकीकरण

एकीकरण और आंशिक एकीकरण के बीच अंतर यह है कि एकीकरण सूत्रों का उपयोग करके निर्धारित फ़ंक्शन का सरल एंटी-व्युत्पन्न है। दूसरी ओर, आंशिक एकीकरण एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग आंशिक रूप से तोड़ने और फिर LIATE नियम का पालन करते हुए हर में जटिल शब्दों के साथ एक तर्कसंगत भिन्न फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए किया जाता है।

समाकलन किसी फलन के प्रति-व्युत्पत्ति का सरलतम रूप है। दूसरे शब्दों में, यह प्रत्येक भाग को संपूर्ण में जोड़ने की एक गणितीय विधि है।

यह घिरे हुए क्षेत्रों के क्षेत्रफल या ग्राफ़ के वक्रों के अंतर्गत गणना करता है। इसमें त्रिकोणमिति, बीजगणित, व्युत्क्रम और घातांक जैसे विभिन्न कार्यों के लिए बीस से अधिक एकीकरण सूत्र हैं।

आंशिक एकीकरण को भागों द्वारा एकीकरण भी कहा जाता है। यह 1715 में गणितज्ञ ब्रूक टेलर द्वारा तैयार किए गए एकीकरण के तरीकों में से एक है।

आंशिक एकीकरण सूत्र उत्पादों में कार्यों के एकीकरण को सरल बनाकर इंटीग्रल्स की आसान गणना करता है। इसके अलावा, यह अभिन्न अभिव्यक्तियों के साथ अच्छी तरह से काम करता है, जिनमें प्रत्यक्ष एकीकरण नहीं होता है सूत्रों.

तुलना तालिका

तुलना के पैरामीटर	एकीकरण	आंशिक एकीकरण
परिभाषा	यह गणित में किसी फलन का व्युत्पत्ति विरोधी है।	एक एकीकरण विधि। इसे भागों द्वारा एकीकरण भी कहा जाता है।
सूत्र	प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए बीस से अधिक एकीकरण सूत्र हैं (त्रिकोणमिति, बीजगणित, व्युत्क्रम, घातीय)	यूवी एकीकरण सूत्र: ∫ udv = uv – ∫ v du
उपयोग	यह कई चीजों के आयतन, क्षेत्रफल और अन्य आयामों को निर्धारित करता है।	यह आसान एकीकरण के लिए अभिव्यक्ति को सरल करता है।
प्रकार	निश्चित और अनिश्चित अभिन्न।	कोई प्रकार नहीं
नियम	एकीकरण व्युत्पत्ति के विपरीत है।	LIATE- लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातीय कार्य।

एकीकरण क्या है?

एकीकरण कैलकुलस में सिखाई जाने वाली प्राथमिक विधि है, जो विभेदन से पहले होती है। आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज दोनों ने 17वीं शताब्दी के अंत में व्यक्तिगत रूप से एकीकरण विकसित किया।

इस सिद्धांत के अनुसार, किसी वक्र के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल अनंत चौड़ाई वाले अनंत आयतों का योग होता है।

इसके अलावा, कैलकुलस में दो प्रकार के एकीकरण होते हैं: निश्चित और अनिश्चित। निश्चित समाकलन दो निश्चित ऊपरी और निचली सीमाओं के साथ वक्र के नीचे का क्षेत्र है।

दूसरी ओर, एक अनिश्चितकालीन अभिन्न वक्र के नीचे का क्षेत्र है जिसमें कोई ऊपरी और निचली सीमा नहीं है।

इसके अलावा, फ़ंक्शन व्युत्पत्ति के साथ, कोई सूत्रों और तकनीकों का उपयोग करके विरोधी-व्युत्पत्ति निर्धारित कर सकता है; इस विधि को एकीकरण कहा जाता है.

इसके अतिरिक्त, एकीकरण को हल करने के लिए विशिष्ट नियमों का पालन किया जाना चाहिए, जैसे योग और अंतर, शक्ति, निरंतर गुणन और पारस्परिक नियम।

कुछ कार्यों के समाकलन को चार तरीकों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है: प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण, अपघटन, आंशिक एकीकरण, और आंशिक अंशों द्वारा एकीकरण।

∫ प्रतीक है जो एक फ़ंक्शन के अभिन्न अंग का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, ∫ 1.dx = x + C का अर्थ है 1 (एक स्थिर) का एकीकरण X और C (स्थिर) के योग के बराबर है। 

आंशिक एकीकरण क्या है?

इस पद्धति का उपयोग करके दो कार्यों को हल किया जाना है। इसे भागों द्वारा एकीकरण के रूप में भी जाना जाता है। आंशिक एकीकरण 1715 में गणितज्ञ ब्रुक टेलर द्वारा प्रस्तावित एकीकरण के तरीकों में से एक है।

यह आसान गणना के लिए कार्यों के उत्पाद को इंटीग्रल में एकीकृत करना सरल बनाता है। यह तकनीक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय और लघुगणकीय कार्यों जैसे प्रत्यक्ष एकीकरण सूत्रों के बिना अभिन्न अभिव्यक्तियों की गणना करने के लिए है।

आंशिक एकीकरण उन कार्यों के प्रतिअवकलजों को खोजना है जिनके सटीक समाधान नहीं हैं, जैसे कि बहुपद के मामले में, त्रिकोणमितीय, घातीय और लघुगणकीय कार्य। 

∫ udv = uv - ∫ v du आंशिक एकीकरण द्वारा किसी फ़ंक्शन को हल करने के लिए नियोजित uv सूत्र का एकीकरण है। दो फ़ंक्शन, यू और वी, हल किए जाने वाले अभिन्न अंग हैं।

इसके अतिरिक्त, LIATE - लॉगरिदमिक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक आंशिक एकीकरण के लिए अनुसरण किए जाने वाले कार्यों का एक आदेशित सेट है।

तदनुसार, पहला कदम LIATE के आधार पर u और v फ़ंक्शंस की सही पहचान करना है।

तो इस प्रकार, (पहले फलन और दूसरे फलन का गुणनफल) का समाकलन {(पहला फलन का गुणनफल) और (दूसरे फलन का समाकलन)} के अंतर और { के गुणनफल (प्रथम फलन का विभेदन) के समाकलन के बराबर है। और दूसरे समारोह का एकीकरण)}। 

एकीकरण और आंशिक एकीकरण के बीच मुख्य अंतर 

1. समाकलन, कलन में प्राथमिक विधि है जिसका उपयोग कार्यों के प्रति-व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाता है। जबकि, आंशिक एकीकरण एकीकरण के तरीकों में से एक है। 
2. एकीकरण विधि सूत्रों को लिखकर और उन्हें हल करके की जाती है। इस बीच, आंशिक एकीकरण int ∫ udv=u v- ∫ int v du का उपयोग करता है। 
3. एकीकरण को 17वीं शताब्दी के अंत में इस्साक न्यूटन और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज द्वारा तैयार किया गया था। इस बीच, 1715 में गणितज्ञ ब्रुक टेलर द्वारा आंशिक एकीकरण विकसित किया गया था। 
4. किसी फ़ंक्शन का एकीकरण ग्राफ़ में वक्र के अंतर्गत क्षेत्र निर्धारित करने में सहायता करता है। दूसरी ओर, आंशिक एकीकरण आसान एकीकरण के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाने में मदद करता है। 
5. समाकलन मूलभूत नियमों जैसे कि घात नियम, योग नियम और गुणन नियम का पालन करता है। हालाँकि, आंशिक एकीकरण LIATE (लॉगरिदमिक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातीय) नामक केवल एक नियम का पालन करता है। 

संदर्भ

1. https://www.emerald.com/insight/content/doi/10.1108/eb039143/full/html
2. https://heinonline.org/hol-cgi-bin/get_pdf.cgi?handle=hein.journals/taxlr47&section=33

अंतिम अद्यतन: 13 फरवरी, 2024