घातीय वृद्धि बनाम घातीय क्षय: अंतर और तुलना

मान लीजिए कि किसी क्षेत्र की जनसंख्या हर साल कुछ प्रतिशत बढ़ जाती है या किसी स्थान का तापमान सालाना कुछ डिग्री सेल्सियस घट जाता है; इन समस्याओं को घातीय वृद्धि और घातीय क्षय के रूप में पहचाना जाता है।

ये दो शब्द न केवल स्थिति को परिभाषित करते हैं बल्कि भविष्य की बेहतर भविष्यवाणी करने में भी मदद करते हैं।

चाबी छीन लेना

1. घातीय वृद्धि तब होती है जब कोई मात्रा समय के साथ तीव्र गति से बढ़ती है। इसके विपरीत, घातांकीय क्षय उस स्थिति को संदर्भित करता है जहां समय के साथ एक मात्रा धीमी गति से तेजी से घटती है।
2. घातीय वृद्धि तब होती है जब किसी मात्रा में परिवर्तन की निरंतर सकारात्मक दर होती है। इसके विपरीत, घातीय क्षय तब होता है जब किसी मात्रा में परिवर्तन की निरंतर नकारात्मक दर होती है।
3. घातीय वृद्धि और क्षय के वास्तविक दुनिया में कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें जनसंख्या वृद्धि, रेडियोधर्मी क्षय और बीमारियों का प्रसार शामिल है।

घातीय वृद्धि बनाम घातीय क्षय

जब कोई मात्रा समय के साथ बढ़ती है, तो कहा जाता है कि इसमें तेजी से वृद्धि हो रही है। घातीय वृद्धि का एक उदाहरण चक्रवृद्धि ब्याज है। जबकि, जब कोई मात्रा समय के साथ घटती है, तो इसे तेजी से क्षय का अनुभव होना कहा जाता है। घातीय क्षय का एक उदाहरण रेडियोधर्मी क्षय है।

घातीय वृद्धि समय के साथ मात्रा में वृद्धि का प्रतीक है। यह एक वक्र खींचता है जो तब बनता है जब कुछ मूल्य एक विशिष्ट दर से बढ़ता है। ग्राफ़ बढ़ते क्रम में एक वक्र बन जाता है, जिसका अर्थ है समय के साथ किसी चीज़ में वृद्धि।

घातीय क्षय का अर्थ है जब कोई मात्रा या मूल्य उसके वर्तमान मूल्य के आनुपातिक दर से घटता है। यह प्रक्रिया एक्स या वाई-अक्ष की ओर एक नकारात्मक वक्र और मंदता को दर्शाती है। शक्ति को नकारात्मक चिन्ह से प्रदर्शित किया जाएगा।

इसमें क्षय स्थिरांक और अर्ध-जीवन की अवधारणाएँ शामिल हैं।

तुलना तालिका

तुलना के पैरामीटर	घातांकी बढ़त	घातीय क्षय
परिभाषा	घातीय वृद्धि समय के साथ मात्रा में वृद्धि को दर्शाती है।	घातीय क्षय समय के साथ मात्रा में कमी को दर्शाता है।
ग्राफ	ग्राफ़ अक्षों के बहुत करीब या बहुत दूर इंगित करता है क्योंकि यह समय के साथ ऊपर उठता है।	ग्राफ़ अक्षों के करीब होगा या इसे काट भी सकता है या छू भी सकता है।
समीकरण	यदि हम कहते हैं कि किसी मूल्य में कुछ सकारात्मक शक्ति है, तो यह घातीय वृद्धि को दर्शाता है।	यदि हम किसी ऐसे समीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं जिसमें शक्ति एक नकारात्मक चिह्न रखती है, तो इसका मतलब क्षय होगा।
अवधारणाओं	चक्रवृद्धि रिटर्न जैसी अवधारणाएँ मौजूद हैं।	अर्ध-जीवन जैसी अवधारणाएँ मौजूद हैं।

घातीय वृद्धि क्या है?

अक्सर हम ऐसी चीजें देखते हैं जो समय के साथ घटित होती हैं, जैसे भोजन की खपत, कार और वाहन खरीदना और भी बहुत कुछ। हमने देखा है कि चीजें दिन-ब-दिन बढ़ती जा रही हैं, जिसके परिणामस्वरूप भीड़ बढ़ रही है। इसके अलावा, यदि हम देशों की जनसंख्या के आँकड़े देखें तो हमें एक पैटर्न दिखाई देता है।

हम एक तरह से देखते हैं कि कैसे एक देश में वृद्धि का अनुभव हो रहा है।

जो चीजें समय के साथ बढ़ती हैं, उन्हें हम विकास कहते हैं। और यदि वे एक पैटर्न का पालन करते हैं, तो हम तेजी से वृद्धि देखते हैं। घातीय वृद्धि का अर्थ है कुछ समय में मात्रा में तेजी। यह तब होता है जब किसी मात्रा में परिवर्तन की तात्कालिक दर (डेल्टा ∆) समय के साथ मात्रा के समानुपाती होता है।

आइए एक उदाहरण से समझते हैं. प्रत्येक गुजरते वर्ष में बिल्ली की प्रजाति तेजी से बढ़ती है, पहले वर्ष में 2, दूसरे वर्ष में 4, तीसरे वर्ष में 16, और इसी तरह। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि चौथे वर्ष में मात्रा 4 होगी या वार्षिक 256% की वृद्धि होगी।

वित्त के संदर्भ में, यौगिक रिटर्न तेजी से वृद्धि का कारण बनता है। यौगिक विधि इस क्षेत्र में सबसे शक्तिशाली विधियों में से एक है। छोटे निवेश से शुरू करके यह विधि समय के साथ तेजी से बढ़ती है।

एक फर्म घातांकीय ग्राफ़ को हाथ में रखते हुए विश्लेषण कर सकती है और जिसे समझना आसान है। इससे प्रभावी ढंग से निर्णय लेना बेहतर हो जाता है।

घातीय क्षय क्या है?

जब समय के सापेक्ष मान घटता है तो यह घातीय क्षय के अंतर्गत आता है। यह एक पैटर्न, एक सूत्र का अनुसरण करता है जिसमें क्षय स्थिरांक होता है जो मूल्यों के साथ घटता जाता है। यदि हम कोई सूत्र देखें तो वह dN/dt = – λN जैसा दिखेगा।

यहां N का अर्थ मात्रा है, लैम्ब्डा एक सकारात्मक दर है जिसे घातीय क्षय स्थिरांक के रूप में जाना जाता है, और अनुपात समय से संबंधित मात्रा को दर्शाता है। दूसरा समाधान क्षय स्थिरांक जैसे पद देगा, विघटन स्थिर है, दर स्थिर है, या परिवर्तन स्थिर है।

सूत्र में मान डालने के बाद बना वक्र मंद हो जाएगा और अक्षों के चारों ओर घूम जाएगा। यह या तो अक्षों के समानांतर रह सकता है, उन्हें छू सकता है, या नकारात्मक दिशा में जाने के लिए प्रतिच्छेद भी कर सकता है।

क्षय स्थिरांक, अर्ध-जीवन के संबंध में एक अवधारणा उत्पन्न होती है। इसे एक सूत्र द्वारा दर्शाया गया है जिसमें प्रदूषण स्थिरांक शामिल है। यह घातीय क्षय की विशेषता है। यह क्षयकारी N(मात्रा) को उसके मूल मान के आधे तक गिरने के लिए आवश्यक समय है। एक प्रतीक t इसे 1/2 की सबस्क्रिप्ट के साथ दर्शाता है।

इसके अलावा, दो या दो से अधिक विभिन्न प्रक्रियाओं के माध्यम से एक साथ क्षय होने जैसी अवधारणाएँ भी मौजूद हैं। उन्हें क्षय मोड, चैनल या मार्ग के रूप में भी जाना जाता है।

घातीय वृद्धि और घातीय क्षय के बीच मुख्य अंतर

1. घातीय वृद्धि कुछ समय में मूल्यों में वृद्धि या वृद्धि को दर्शाती है, जबकि क्षय मामलों में मंदता को दर्शाता है।
2. वृद्धि ग्राफ ऊपर उठता है और अक्षों से दूर जा सकता है लेकिन स्पर्श नहीं करता है, जबकि क्षय ग्राफ या तो समानांतर और करीब हो सकता है, अक्षों को छू सकता है या प्रतिच्छेद भी कर सकता है।
3. किसी जनसंख्या में एक विशिष्ट प्रतिशत के साथ वृद्धि घातीय वृद्धि का एक उदाहरण है, जबकि हर गुजरते साल के साथ तापमान में एक दर से कमी होना घातांकीय क्षय है।
4. चक्रवृद्धि रिटर्न तेजी से वृद्धि को जन्म देता है, जबकि क्षय जैसा कुछ नहीं होता है।
5. यदि हम एक विशिष्ट समीकरण लेते हैं जिसकी शक्ति सकारात्मक रूप से ली जाती है, तो यह मूल्यों में वृद्धि के साथ बढ़ेगी, जबकि यदि हम नकारात्मक मान लेते हैं, तो यह मूल्य में वृद्धि के साथ घट जाएगी।

संदर्भ

1. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0006349576856603

अंतिम अद्यतन: 11 जून, 2023