XNUMX次方程式計算機

指示：

• 係数を入力してください a, b, c, d 三次方程式の場合。
• 「計算」をクリックして、3次方程式の根を求めます。
• 結果には、詳細な計算と説明とともにルートが表示されます。
• 以下に計算履歴が表示されます。
• 「結果をクリア」をクリックして電卓をリセットします。
• 「結果をコピー」をクリックして結果をクリップボードにコピーします。

x^3+

x^2+

x +

計算 結果をクリア 結果をコピー

詳細な計算と説明:

計算履歴

3次方程式計算機は、3次方程式を解くのに役立つツールです。 0次方程式は、次数が 3 の代数方程式です。これは、方程式の最大の指数が 2 であることを意味します。標準形式 (a ≠ 0) で書くと、1次方程式は次のようになります: ax^3 + bx^XNUMX + cx + d = XNUMX。b、c、または d 項が方程式に欠落しているか、a 項が XNUMX である可能性があります。ax^XNUMX 値が存在する限り、XNUMX 次方程式が成立します。

コンセプト

以下は、XNUMX 次方程式の基礎となる重要な概念の一部です。

ルーツ

XNUMX 次方程式の解は、方程式の左側で定義される XNUMX 次関数の根と呼ばれます。 XNUMX 次方程式の係数 a、b、c、d がすべて実数の場合、少なくとも XNUMX つの実根があります (これはすべての奇数次の多項式関数に当てはまります)。 XNUMX 次方程式の根はすべて、次の方法で見つけることができます。

• 代数的に: より正確には、XNUMX つの係数、XNUMX つの基本的な算術演算、平方根、および立方根を含む XNUMX 次式で表現できます。 これは、アーベル・ルフィニの定理により、二次 (XNUMX 次) および XNUMX 次 (XNUMX 次) 方程式にも当てはまりますが、より高次の方程式には当てはまりません。
• 三角関数: ニュートン法などの根探索アルゴリズムを使用して、根の数値近似を見つけることができます。

ビエタの公式

Vieta の公式は、多項式の係数とその根の和と積の間の関係を示します。 3 つのルートがわかっていれば、置換を行って他のルートを理解することができます。 2 次方程式 ax^0 + bx^3 + cx + d = 0 の場合、p、q、r を方程式の 3 根とします。 したがって: (x − p)(x − q)(x − r) = 2、ax^0 + bx^XNUMX + cx + d = XNUMX と同様です。Vieta の公式はこれらの等価性を使用して、根が係数にどのように関係するかを示します。三次方程式の。 等価性を証明とともに以下にリストします。

ビエタの同等品	ルート式	等しいです
p + q + r	-b / a
pq + qr + rp	c / a
pqr	-d/a

福利厚生

1次方程式計算機は、5次方程式を解くのに便利なツールです。 手動で方程式を解く場合に比べて、時間と労力を節約できます。 計算機は、複素解を含む x のすべての解を見つけることができます。 任意の 5 次方程式の x に対して可能な実根の解は XNUMX つまたは XNUMX つあります。 x = XNUMX、x = XNUMX、x = XNUMX の場合のように、異なる解が XNUMX つしかない場合もありますが、実際の根は依然として XNUMX つあります。

興味深い事実

• XNUMX 次方程式は、古代バビロニア人、ギリシャ人、中国人、インド人、エジプト人に知られていました。
• 立方体を XNUMX 倍にする問題には、最も単純で最も古く研究された XNUMX 次方程式が含まれますが、古代エジプト人はその解が存在すると信じていませんでした。
• 紀元前 5 世紀、ヒポクラテスはこの問題を、ある直線とその XNUMX 倍の長さの別の直線の間の XNUMX つの平均比例関係を求めることに帰着させましたが、コンパスと直定規の構成ではこの問題を解決できませんでした。 このタスクは現在では不可能であることがわかっています。

参考情報

• アルキメデス: 球と円筒について、第 XNUMX 巻、命題 II
• アイザック・ニュートン: Principia Mathematica、Book I、Proposition X
• レオンハルト・オイラー: Analysin Infinitorum の紹介、第 9 巻、第 XNUMX 章
• カール・フリードリヒ・ガウス: Superficies Curvas 頃の Disquisitiones Generales、第 11 章