Parabool versus hyperbool: verschil en vergelijking

Een kegelsnede is een kromme die wordt verkregen wanneer een vlak een kegel onder een bepaalde hoek snijdt. Er zijn drie kegelsneden: ellips, parabool en hyperbool.

Een ellips is een vlakke curve met twee brandpunten die op een cirkel lijken. De parabool en hyperbool zijn echter verwarrende secties.

Key Takeaways

1. Parabolen zijn U-vormige krommen die kwadratische functies voorstellen, met één symmetrieas en één hoekpunt.
2. Hyperbolas bestaat uit twee verschillende krommen, die punten vertegenwoordigen met een constant verschil tussen de afstanden tussen twee brandpunten.
3. Zowel parabolen als hyperbolen zijn kegelsneden, maar ze vertonen verschillende vormen en wiskundige eigenschappen, waarbij parabolen een enkele tak hebben en hyperbolen twee takken hebben.

Parabool versus hyperbool

Parabool is een U-vormige kromme die symmetrisch is rond zijn as. Een hyperbool daarentegen is een type curve met twee takken die naar boven of naar beneden openen en symmetrisch zijn rond hun middelpunt. In wiskunde worden ze vertegenwoordigd door verschillende vergelijkingen en hebben verschillende eigenschappen.

Een parabool is een enkele open kromme die zich uitstrekt tot in het oneindige. Het is U-vormig en heeft één brandpunt en één richtlijn.

Een hyperbool is een open kromme met twee niet-verbonden takken. Het heeft twee foci en twee richtpunten, één voor elk eenheid.

---

 

Vergelijkingstabel

Vergelijkingsparameter	Parabool	Hyperbool
Definitie	Een parabool is een meetkundige plaats van de punten op gelijke afstand van een brandpunt en een richtlijn.	Een hyperbool is een meetkundige plaats van de punten met een constant verschil tussen twee brandpunten.
Vorm	De parabool is een open kromme met één brandpunt en één richtlijn.	De hyperbool is een open kromme met twee takken, twee brandpunten en twee richtingen.
Excentriciteit	De niet-negatieve excentriciteit van een parabool is er één.	De niet-negatieve excentriciteit e van een hyperbool is groter dan één.
Kruising van vliegtuig	Het snijpunt van het vlak is evenwijdig (ideaal geval) aan de schuine hoogte van de kegel.	Het snijpunt van het vlak is evenwijdig (ideaal geval) aan de loodrechte hoogte van de dubbele kegel.
Algemene vergelijking	De algemene vergelijking van de parabool is y = ax², a ≠ 0	De algemene vergelijking van de hyperbool is x²/a² – y²/b² = 1

---

 

Wat is parabool?

Een parabool is de meetkundige plaats van alle punten die op gelijke afstand van een punt en een lijn liggen. Dit punt wordt het brandpunt genoemd en deze lijn wordt de richtlijn genoemd.

Een parabool wordt gevormd wanneer een vlak een kegel snijdt in een parallelle richting (ideaal geval) aan zijn helling Hoogte.

De algemene vergelijking van een parabool wordt gegeven als

y = ax², a ≠ 0

De waarde van a bepaalt de vorm van de kromme.

Als a > 0, opent de mond van de parabool naar boven.

Als a < 0, opent de mond van de parabool naar beneden.

Het brandpunt van de bovenstaande parabool is (0, 1/4a). De richtlijn is (-1/4a).

Wanneer a=1, wordt de parabool echter een eenheidsparabool genoemd.

Een parabool heeft een excentriciteit van één.

Een parabool is symmetrisch om zijn as. Op oneindige afstand verschijnen de krommen als evenwijdige lijnen.

 

Wat is hyperbool?

Een hyperbool is de meetkundige plaats van alle punten met een constant verschil tussen twee verschillende punten. Deze punten worden de brandpunten van de hyperbool genoemd.

Een hyperbool wordt gevormd wanneer een vast vlak een kegel snijdt in een richting evenwijdig aan zijn loodrechte hoogte.

De algemene vergelijking van een hyperbool wordt gegeven als

(x-α)²/a² – (y-β)²/b² = 1

De brandpunten van bovenstaande hyperbool zijn ( α ± sqrt( a²+b²), β).

De hoekpunten zijn (±a, β).

Een hyperbool heeft een excentriciteit groter dan één.

Een hyperbool heeft twee symmetrieassen. Dit zijn de dwarsas en de geconjugeerde as.

---

Belangrijkste verschillen tussen parabool en hyperbool

Een parabool en een hyperbool zijn kegelsneden. Ze hebben verschillende vormen en eigenschappen.

De belangrijkste verschillen tussen de twee zijn:

1. Een parabool is een meetkundige plaats van alle punten op gelijke afstand van een brandpunt en een richtlijn. Aan de andere kant is een hyperbool een locus van alle problemen waarvoor het verschil in afstand tussen twee brandpunten constant is.
2. Een parabool is een open kromme met één brandpunt en richtlijn, terwijl een hyperbool een open kromme is met twee takken met twee brandpunten en richtlijnen.
3. De excentriciteit van een parabool is één, terwijl de excentriciteit van een hyperbool belangrijker is dan één.
4. Een parabool wordt gevormd wanneer het vlak een kegel langs zijn schuine hoogte snijdt. Aan de andere kant wordt een hyperbool gevormd wanneer het vlak een kegel langs zijn loodrechte hoogte snijdt.
5. De vergelijking voor een parabool is y = ax². Aan de andere kant is de vergelijking voor een hyperbool x²/a² – y²/b² = 1.

---

Referenties

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ao-54-24-7148
2. https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/68/4/537/449711

Laatst bijgewerkt: 11 juni 2023