Лагранжев и эйлеров подход: разница и сравнение

Основные выводы

1. Лагранжев взгляд следует за отдельным жидким пакетом, когда он движется в пространстве и времени. Эйлерова точка зрения фокусируется на определенных местах в пространстве, через которые течет жидкость.
2. В лагранжевых спецификациях координаты движутся вместе с жидкими участками, поэтому это полезно для отслеживания траекторий, деформации и вращения. Эйлеровы координаты фиксированы в пространстве, поэтому лучше подходят для анализа потоков, скоростей и ускорений.
3. Лагранжев подход обычно используется для отслеживания океанских течений, атмосферных воздушных масс и траекторий космических кораблей. Эйлеров подход хорошо работает для задач, связанных со стационарным оборудованием, таким как турбины, насосы или крылья самолета.

Что такое лагранжев подход?

Лагранжев подход, также известный как лагранжев формализм или лагранжева механика, представляет собой математическую и концептуальную основу, используемую в физике для описания динамики системы. Он представляет собой альтернативную формулировку более традиционному ньютоновскому подходу к анализу движения частиц и систем. Лагранжев подход особенно полезен для систем со сложными ограничениями, недекартовыми координатами и принципами инвариантности, поскольку он упрощает математический анализ и дает представление о лежащих в основе симметриях системы.

Лагранжев подход предлагает несколько преимуществ, в том числе его способность справляться с ограничениями и выявлять симметрии и законы сохранения, связанные с системой. Он широко используется в классической механике, квантовой механике, теории поля и других областях физики, где ньютоновский подход может оказаться громоздким или менее информативным.

Что такое Эйлеров подход?

Эйлеров подход — это математическая и вычислительная основа, которая анализирует динамику жидкости, особенно при изучении движения и поведения жидкостей. Он назван в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера, внесшего значительный вклад в различные области математики и физики, включая гидродинамику.

Эйлеров подход обеспечивает мощную основу для изучения динамики жидкости в ситуациях, когда коллективное поведение жидкости представляет первостепенный интерес. Он обычно используется в метеорологии, гидродинамике, аэродинамике и в любой области, где важно понять, как движутся и взаимодействуют жидкости.

Разница между лагранжевым и эйлеровым подходом

1. Лагранжиан фокусируется на отслеживании движения отдельных частиц или объектов при их движении в пространстве. Каждой частице присвоены определенные координаты, которые меняются со временем. Эйлериан концентрируется на наблюдении течения вещества в фиксированных точках пространства, независимо от того, какие частицы занимают эти точки. Координаты остаются фиксированными, а свойства жидкости изменяются.
2. Лагранжиан описывает такие свойства, как скорость, положение и импульс каждой отдельной частицы, непосредственно в терминах времени и координат, специфичных для частицы. Эйлериан описывает такие свойства, как скорость, давление и плотность, как непрерывные функции как пространственных координат, так и времени.
3. Лагранжиан выводит уравнения движения, рассматривая принцип действия, что приводит к дифференциальным уравнениям второго порядка для координат каждой частицы. Эйлеровы выводят уравнения в частных производных (PDE), которые описывают, как свойства жидкости изменяются в определенных точках пространства и времени в зависимости от окружающих условий.
4. Лагранжиан особенно полезен для изучения траекторий отдельных частиц, механики дискретных систем и систем с ограничениями. Эйлериан хорошо подходит для анализа крупномасштабных моделей потока, турбулентности и поведения с участием многих частиц, таких как гидродинамика.
5. Лагранжиан полезен для моделирования на основе частиц и отслеживания поведения отдельных частиц, но для многих частиц может требовать больших вычислительных ресурсов. Эйлериан используется в сеточном моделировании (вычислительная гидродинамика или CFD), где свойства рассчитываются на фиксированной сетке, что позволяет эффективно управлять потоком жидкости в широком диапазоне масштабов.

Сравнение лагранжевого и эйлерова подходов

Параметры сравнения	Лагранжев подход	Эйлеров подход
Эволюция времени	Отслеживает траектории отдельных частиц.	Наблюдает за свойствами жидкости в фиксированных пространственных точках.
Уравнения движения	Включает дифференциальные уравнения второго порядка.	Включает уравнения в частных производных (PDE).
Идентификация частиц	Каждая частица имеет уникальные координаты.	Фокусируется на свойствах жидкости в фиксированных координатах.
Взаимодействие частиц	Подходит для систем с небольшим количеством взаимодействующих частей.	Эффективен для анализа сложных взаимодействий жидкостей.
Обработка ограничений	Полезно для изучения систем с ограничениями.	Меньше озабочены ограничениями, более макроскопичны.

Рекомендации

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1352231014000946
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0032591019308204

Последнее обновление: 14 октября 2023 г.